Secvență de apel

Secvența Appel este o secvență de polinoame care satisface identitatea: ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots ))$

{\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)

unde este o constantă diferită de zero. $p_{0}(x)$

Numit după Paul Emil Appel . Printre cele mai cunoscute secvențe Appel, pe lângă exemplul banal , sunt polinoamele Hermite , polinoamele Bernoulli și polinoamele Euler . Fiecare secvență Appel este o secvență Schaeffer , dar, în general, secvențele Schaeffer nu sunt secvențe Appel. Secvențele de apel au o interpretare probabilistică ca sisteme de momente . $\{x^{n}\}$

Definiții echivalente

Următoarele condiții privind secvențele de polinoame sunt echivalente cu definiția unei secvențe Appell:

pentru o secvență de scalari cu : ${\displaystyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty ))$ $c_{0}\neq 0$ $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk}$ ;
pentru aceeași succesiune de scalari: $p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}$ , unde ; $D={\frac {d}{dx)}$
pentru : $n=0,1,2,\ldots$ $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}$ .

Atribuire recursiva

În cazul în care un:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty {c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n} =Sx^{n}

unde ultima egalitate definește un operator liniar pe spațiul polinoamelor în , și: $S$ $X$

T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right) ^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}

este operatorul invers, unde coeficienții sunt coeficienții seriei de puteri formale inverse , astfel încât: $a_{k}$

Tp_{n}(x)=x^{n}\,

(în terminologia calculului umbră , o serie de putere formală este adesea folosită în locul secvenței Appel în sine ), atunci avem: $T$ $p_n$

\ln T=\ln \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)

folosind expansiunea obișnuită a seriei pentru logaritm și definiția obișnuită a compoziției seriilor formale. De unde vine: $\ln(x)$

p_{n+1}(x)=(x-(\ln T)')p_{n}(x)

(Această diferențiere formală a unei serii în raport cu un operator diferenţial este un exemplu de derivată Pinkerle ). $D$

În cazul polinoamelor Hermite , aceasta se reduce la formula recursivă obișnuită pentru această secvență.

Subgrup de polinoame Schaeffer

Mulțimea tuturor secvențelor Schaeffer este închisă sub compoziția umbră a secvențelor polinomiale, definite după cum urmează. Fie și secvențe polinomiale definite după cum urmează: $\{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \)$ $\{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \)$

p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ și }}q_{n}(x)=\ suma _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}

Atunci compoziția umbrei este o succesiune de polinoame, al căror termen are forma: $p\circ q$ $n$

{\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leqslant \ ell \leqslant k\leqslant n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell ))

(indicele apare în , deoarece este al- lea membru al acestei secvențe, dar nu în , deoarece aici se referă la întreaga secvență, nu la unul dintre membrii ei). $n$ $p_n$ $n$ $q$ $q$

În cadrul unei astfel de operații, mulțimea tuturor secvențelor Schaeffer este un grup non-abelian , dar setul tuturor secvențelor Appel este un subgrup abelian . Proprietatea sa abeliană rezultă din faptul că fiecare secvență Appel are forma:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}

și că produsul umbră al secvențelor Appel corespunde înmulțirii acestor serii formale de putere cu o variabilă operator . $D$

Literatură

Appell, Paul (1880). „Sur une classe de polynomes” . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Seria 2e. 9 :119-144.
Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). „Calculul Umbral”. Progrese în matematică . 27 (2): 95-188. DOI : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). Calcul operator finit. Jurnalul de analiză și aplicații matematice . 42 (3): 685-760. DOI : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Retipărită în cartea cu același titlu, Academic Press, New York, 1975.
Steve Roman. Calculul Umbral. — Publicații Dover .
Theodore Seio Chihara. O introducere în polinoamele ortogonale. - Gordon și Breach, New York, 1978. - ISBN 978-0-677-04150-6 .

Link -uri

Appell secvențe - Enciclopedia de matematică articol . Yu. A. Kazmin
Secvență de apel la MathWorld