Regula lui Ruffini

Regula lui Ruffini este o tehnică eficientă pentru împărțirea unui polinom într-un binom de forma În 1804, a fost descrisă de Paolo Ruffini . [1] Regula lui Ruffini este un caz special de diviziune sintetică când divizorul este liniar. $xr.$

Algoritm

Regula stabilește o metodă de împărțire a unui polinom

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0)

pe binom

Q(x)=xr

pentru privat

R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0)

;

De fapt, algoritmul realizează împărțirea coloanei P ( x ) cu Q ( x ).

Pentru a împărți P ( x ) la Q ( x ) conform acestui algoritm, aveți nevoie

Luați coeficienții P ( x ) și scrieți-i în ordine. Apoi scrieți r în stânga, chiar deasupra liniei: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&\\\hline &&&&&\\&&&&\\\end {matrice}}$
Mutați coeficientul din stânga ( a n ) în jos, chiar sub linie: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\& =b_{n-1}&&&&\\\end{array}}$
Înmulțiți numărul din dreapta de sub linie cu r și scrieți-l imediat deasupra liniei: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}$
Adăugați două valori în aceeași coloană: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\\\end{array}}$
Repetați pașii 3 și 4 atâta timp cât există numere: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\&=b_{n-1} &=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}$

Numerele b i sunt coeficienții câtului ( R ( x )), al cărui grad este cu unul mai mic decât gradul lui P(x). Ultima valoare a lui s primit este restul . Conform teoremei lui Bezout , acest rest este P ( r ).

Utilizare

Împărțirea după polinom x - r

Un exemplu de lucru de împărțire a polinoamelor conform algoritmului descris mai sus.

Lăsa:

P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4,

Q(x)=x+1.

Vrem să găsim folosind regula lui Ruffini. Problema principală este că acesta nu este un binom de forma , ci mai degrabă trebuie să-l rescriem astfel: $P(x)/Q(x)$ $Q(x)$ $xr,$ $x+r.$