Teorema lui Bezout

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 octombrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Bezout afirmă că restul împărțirii unui polinom la un binom este. $P(x)$ $(xa)$ $P(a)$

Se presupune că coeficienții unui polinom sunt conținuți într-un inel comutativ cu unitate (de exemplu, în domeniul numerelor reale sau complexe ).

Dovada

Împărțiți polinomul la binomul cu restul : $P(x)$ $xa$

P(x)=(xa)Q(x)+R(x),

unde este restul. Deoarece , atunci este un polinom de grad nu mai mare de 0, adică o constantă, îl notăm cu . Înlocuind , din moment ce , avem . $R(x)$ $\deg R(x)<\deg(xa)=1$ $R(x)$ $r$ $x=a$ $(aa)Q(a)=0$ $P(a)=R(x)=r$

Consecințele

Un număr este o rădăcină a unui polinom dacă și numai dacă este împărțit fără rest de un binom (deci, în special, rezultă că mulțimea rădăcinilor polinomului este identică cu mulțimea rădăcinilor ecuației corespunzătoare ). $A$ $p(x)$ $p(x)$ $xa$ $P(x)$ $P(x)=0$
Termenul liber al unui polinom este divizibil cu orice rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi (dacă coeficientul principal este 1, atunci toate rădăcinile raționale sunt de asemenea întregi).
Fie o rădăcină întreagă a polinomului redus cu coeficienți întregi. Atunci, pentru orice număr întreg , numărul este un multiplu al . $A$ $Topor)$ $k$ $A(k)$ $ak$

Aplicații

Teorema lui Bezout și consecințele ei facilitează găsirea rădăcinilor raționale ale ecuațiilor polinomiale cu coeficienți raționali.

Vezi și

Teorema fundamentală a algebrei

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră, - M . : Editura Factorial Press, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Piotr Rudnicki (2004). „Mica teoremă Bézout (teorema factorului)” (PDF). Matematică formalizată. 12(1): 49–58.