Regula produsului

Regula produsului , sau identitatea Leibniz , este o proprietate caracteristică operatorilor diferenţiali .

\delta (f\times g)=(\delta f)\times g+f\times (\delta g).

Adesea identitatea Leibniz este inclusă ca axiomă în definiția diferențierii.

Exemple

Pentru derivat $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$
Pentru diferential $d(f\cdot g)=(df)\cdot g+f\cdot (dg)$

Variații și generalizări

Derivată multiplă

Pentru derivata --a există o formulă Leibniz generalizată : $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

unde sunt coeficienți binomi .

C_{n}^{k}

Algebră gradată

O operație pe o algebră gradată satisface identitatea Leibniz gradată dacă, pentru orice , $\delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\la \oplus _{k}\Omega ^{k+l)$ $\Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k)$ $K\in \Omega ^{k)$ $F\in \Omega$

\delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)

unde este inmultirea in . Majoritatea derivațiilor pe algebra formelor diferențiale satisfac această identitate. $\pană$ $\Omega$

Algebră asociativă

Următoarea identitate este adevărată în algebra asociativă : Această identitate este regula Leibniz pentru un operator Din acest motiv, un operator este numit derivație intrinsecă în algebră. Operatorul are o proprietate similară $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$ $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$

Prin urmare, $[A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+B_{1}[A,B_{ 2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}].$

Vezi și

Regula înmulțirii (combinatorie)