Transformarea Bogolyubov

În fizica teoretică , transformarea Bogolyubov a fost găsită în 1958 de Nikolai Bogolyubov pentru a găsi soluții la teoria BCS într-un sistem omogen [1] [2] . Transformarea Bogolyubov este adesea folosită pentru a diagonaliza Hamiltonienii , dând astfel soluții staționare ecuației Schrödinger . Transformarea Bogolyubov este, de asemenea, importantă pentru înțelegerea efectului Unruh , a radiației Hawking , a efectelor de împerechere în fizica nucleară.

Cazul bosonilor

Luați în considerare relația de comutație canonică pentru operatorii de creare și anihilare a bosonilor

\left[{\hat {a)],{\hat {a}}^{\pumnal }\right]=1~.

Definim o nouă pereche de operatori

{\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger }

{\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}~,

unde al doilea este conjugat hermitian cu primul.

Transformarea Bogolyubov este o transformare canonică care asociază operatori cu și operatori . Pentru a găsi condiții asupra constantelor u și v în care transformarea este canonică, calculăm comutatorul ${\hat {a}}$ ${\hat {a}}^{\dagger }$ ${\hat {b}}{\text{ și}}{\hat {b}}^{\dagger }$

\left[{\hat {b)),{\hat {b}}^{\pumnal }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}} ^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^ {2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a)],{\hat {a))^{\pumnal }\right].

Evident, este condiția în care transformarea este canonică. Constantele u și v pot fi reprezentate ca $\,|u|^{2}-|v|^{2}=1$

u=e^{i\theta _{1}}\operatorname {ch} r

v=e^{i\theta _{2}}\operatorname {sh} r~.

Cazul fermionilor

Pentru anti-comutator

\left\{{\hat {a}),{\hat {a}}^{\pumnal }\right\}=1

aceeași transformare cu u și v are ca rezultat

\left\{{\hat {b}),{\hat {b}}^{\pumnal }\right\}=(|u|^{2}+|v|^{2})\ stânga\{{\pălărie {a)),{\pălărie {a}}^{\pumnal }\right\}

Pentru ca transformarea să fie canonică, u și v pot fi reprezentate ca

u=e^{i\theta _{1}}\cos r\,\!

v=e^{i\theta _{2}}\sin r\,\!.

Note

↑ Valatin, JG (martie 1958). „Comentarii despre teoria supraconductivității”. Il Nuovo Cimento . 7 (6): 843-857. Cod biblic : 1958NCim ....7..843V . doi : 10.1007/ bf02745589 .
↑ Bogoljubov, N.N. (martie 1958). „Despre o nouă metodă în teoria supraconductivității”. Il Nuovo Cimento . 7 (6): 794-805. Cod biblic : 1958NCim ....7..794B . doi : 10.1007/ bf02745585 .