Semne de egalitate a triunghiurilor (teorema)

Testele pentru egalitatea triunghiurilor sunt una dintre teoremele de bază ale geometriei.

Un triunghi pe planul euclidian poate fi definit în mod unic (până la congruență ) prin următoarele triplete de elemente de bază: [1]

$A$ , , (egalitatea pe două laturi și unghiul dintre ele); $b$ $\gamma$
$A$ , , (egalitate în latură și două unghiuri adiacente); $\beta$ $\gamma$
$A$ , , (egalitate pe trei laturi). $b$ $c$

Există caracteristici pentru triunghiuri dreptunghiulare , dintre care unele sunt excepționale:

de-a lungul catetei și ipotenuzei (adică, în cazul unui triunghi dreptunghic, nu este necesar ca între laturile cunoscute să se afle un unghi cunoscut (și anume o linie dreaptă);
pe două picioare;
de-a lungul piciorului și unghi ascuțit;
ipotenuza si unghiul ascutit.

Un semn suplimentar: triunghiurile sunt egale dacă au două laturi și un unghi opus celei mai mari dintre aceste laturi [2] .

În geometria sferică și în geometria lui Lobaciovsky există semnul că triunghiurile sunt egale în trei unghiuri.

Semnul egalității pe două laturi și unghiul dintre ele

Dovezi clasice din programa școlară

Teoremă: dacă două laturi și unghiul cuprins între ele, într-un triunghi, respectiv, sunt egale cu două laturi și unghiul cuprins între ele, într-un alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale .

Dat: Demonstrați: Demonstrați: Puneți astfel încât punctul să cadă și partea să coincidă cu . Apoi, datorită egalității acestor laturi, punctul va coincide cu a datorită egalității unghiurilor și latura va coincide cu , iar, la rândul său, datorită egalității acestor laturi, punctul va coincide cu , deci latura va coincide cu (deoarece două puncte pot fi conectate doar printr-o singură linie dreaptă) . Apoi triunghiurile coincid, ceea ce înseamnă că sunt egale. $AB=A_{1}B_{1},\quad AC=A_{1}C_{1},\quad \angle A=\angle A_{1}.$

$\triunghi ABC=\triunghi A1B1C1.$

$\Delta ABC$ $\Delta A_{1}B_{1}C_{1)$ $A$ $A_{1}$ $AC$ $A_{1}C_{1}$ $C$ $C_{1},$ $A$ $A_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $B$ $B_1$ $CB$ $C_{1}B_{1}$

Notă

Cerința ca unghiul să se afle între laturi este esențială, deoarece, dacă unghiul cunoscut, dimpotrivă, se află opus laturii cunoscute, atunci un alt unghi, necunoscut, care se află opus restului laturii cunoscute, poate fi determinat în mod ambiguu de către Teorema sinusului : dacă sinusul unghiului este egal cu o anumită valoare, atunci este și sinusul celui adiacent .

Semnul egalității pe două unghiuri și latura dintre ele

Dovezi clasice din programa școlară

Teoremă: dacă două unghiuri și latura adiacentă acestora a unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri și latura adiacentă acestora a altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale .

Dat : Dovada : Dovada: $BC=B_{1}C_{1},\quad \angle C=\angle C_{1},\angle B=\angle B_{1}.$

$\triunghi ABC=\triunghi A1B1C1$

Notă

Spre deosebire de primul criteriu, al 2-lea criteriu poate fi reformulat astfel încât ambele unghiuri cunoscute să nu fie adiacente unei laturi cunoscute, iar datorită teoremei sumei unghiurilor, criteriul de egalitate rămâne adevărat.

Semn de egalitate pe trei laturi

Note

↑ Geometrie conform lui Kiselyov Arhivat la 1 martie 2021 la Wayback Machine , § 41.
↑ Manual de matematică elementară, 1978 , p. 219.

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. — M .: Nauka, 1978.

Vezi și

Semne de asemănare ale triunghiurilor