Derivat Gateaux

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Derivata Gateaux extinde conceptul de derivată la spații vectoriale topologice convexe local . Numele sunt date în onoarea matematicianului francez René Eugène Gâteaux ( fr. René Eugène Gâteaux ).

Definiție

Fie și să fie spații normate peste un câmp și să fie o mapare care acționează de la până $X$ $Y$ $\mathbb {R} ,$ $F$ $X$ $Y.$

Dacă există o limită pentru unii și pentru unii (convergența este înțeleasă din punct de vedere al normei de spațiu ) $x\în X$ $h\in X$ $Y$

$dF(x,\;h)=\left.{d \over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert _{t=0}=\lim _{t\to 0} {F(x+t\cdot h)-F(x)\peste t},$

atunci se numește diferențiale Gateaux (sau diferența slabă ) ale mapării în punctul (increment ). $F$ $X$ $h$

Maparea se mai numește și prima variație a mapării la un punct (increment ). $dF(x,\;h)$ $F$ $X$ $h$

Diferenţialul Gateaux are proprietatea de omogenitate : dacă este definit , atunci pentru oricare va fi definit $dF(x,\;h)$ $k\in \mathbb {R}$ $dF(x,\;k\cdot h)=k\cdot dF(x,\;h).$

Un diferențial slab nu trebuie să fie liniar în $h.$

Dacă liniaritatea este valabilă, adică

$dF(x,\;h)=F\;'(x)\h,$

unde este un operator liniar mărginit, atunci se numește derivată slabă (sau derivată Gateaux ) a mapării în punctul $F\;'(x)$ $F\;'(x)$ $F$ $X.$

Vezi și

Literatură

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. — M.: FIZMATLIT, 2006. — 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Control optim — Orice ediție.