Funcția generatoare a momentelor

Funcția generatoare a momentelor este o modalitate de a specifica distribuțiile de probabilitate . Cel mai adesea folosit pentru a calcula momentele .

Definiție

Să existe o variabilă aleatoare cu distribuție . Atunci funcția sa generatoare de momente este o funcție care are forma: $X$ $\mathbb {P} ^{X}$

M_{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]

Folosind formulele de calcul a așteptărilor matematice , definiția funcției generatoare a momentelor poate fi rescrisă astfel:

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)

adică funcția generatoare a momentelor este transformata Laplace cu două fețe a densității de distribuție a unei variabile aleatoare (până la reflexie).

Variabile aleatoare discrete și absolut continue

Dacă variabila aleatoare este discretă , adică , atunci $X$ $\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots$

M_{X}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}

Exemplu. Let are o distribuție Bernoulli . Apoi $X$

M_{X}(t)=e^{t\cdot 1}\cdot p+e^{t\cdot 0}\cdot q=pe^{t}+q

Dacă variabila aleatoare este absolut continuă , adică are o densitate , atunci $X$ $f_{X}(x)$

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,f_{X}(x)\,dx

Exemplu. Let are o distribuție uniformă continuă standard . Apoi $X\simU[0,1]$

M_{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{tx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{tx}}{t }}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{t}-1}{t}}

Proprietăți ale funcțiilor generatoare de moment

Proprietățile funcțiilor generatoare de moment sunt în multe privințe similare cu proprietățile funcțiilor caracteristice datorită asemănării definițiilor lor.

Funcția generatoare de moment determină în mod unic distribuția. Fie două variabile aleatoare și . Apoi . În special, dacă ambele mărimi sunt absolut continue , atunci coincidența funcțiilor generatoare ale momentelor atrage după sine coincidența densităților. Dacă ambele variabile aleatoare sunt discrete , atunci coincidența funcțiilor generatoare ale momentelor implică coincidența funcțiilor de probabilitate. $X Y$ $M_{X}(t)=M_{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
Funcția generatoare a momentelor în funcție de o variabilă aleatoare este omogenă:

M_{aX}(t)=M_{X}(la),\;\forall a\in \mathbb {R}

Funcția generatoare a momentelor sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul funcțiilor lor generatoare ale momentelor. Să fie variabile aleatoare independente. Să notăm . Apoi $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

M_{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)

Calculul momentelor

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}M_{X}(t)\right \vert _{t=0}

Funcția generatoare a momentelor

Definiție

Variabile aleatoare discrete și absolut continue

Proprietăți ale funcțiilor generatoare de moment

Calculul momentelor

Vezi și