Funcția caracteristică a unei variabile aleatoare

Funcția caracteristică a unei variabile aleatoare este una dintre modalitățile de a specifica distribuția . Funcțiile caracteristice pot fi mai convenabile în cazurile în care, de exemplu, funcția de densitate sau de distribuție are o formă foarte complexă. De asemenea, funcțiile caracteristice sunt un instrument convenabil pentru studierea problemelor de convergență slabă (convergență în distribuție) . Yu.V. _ Linnik , I.V. Ostrovsky, K.R. Rao , B. Ramachandran.

Definiție

Să existe o variabilă aleatoare cu distribuție . Atunci funcția caracteristică este dată de formula: $X$ $\mathbb {P} ^{X}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]

Folosind formulele de calcul a așteptărilor matematice , definiția funcției caracteristice poate fi rescrisă ca:

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)

adică funcția caracteristică este transformata Fourier inversă a distribuției unei variabile aleatoare.

Dacă o variabilă aleatorie ia valori într-un spațiu Hilbert arbitrar , atunci funcția sa caracteristică are forma: $X$ ${\mathcal {H}}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle t,X\rangle }\right],\;\forall t\in {\mathcal {H))

unde denotă produsul punctual în . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathcal {H}}$

Variabile aleatoare discrete și absolut continue

Dacă variabila aleatoare este discretă , adică , atunci $X$ $\mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\ldots$

\phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}

Exemplu. Let are o distribuție Bernoulli . Apoi $X$

\phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q

Dacă variabila aleatoare este absolut continuă , adică are o densitate , atunci $X$ $f_{X}(x)$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx

Exemplu. Let are o distribuție uniformă continuă standard . Apoi $X\simU[0,1]$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it} }\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}

Proprietăți ale funcțiilor caracteristice

Funcția caracteristică determină în mod unic distribuția. Să fie două variabile aleatoare și . Apoi . În special, dacă ambele mărimi sunt absolut continue, atunci coincidența funcțiilor caracteristice implică coincidența densităților. Dacă ambele variabile aleatoare sunt discrete, atunci coincidența funcțiilor caracteristice implică coincidența funcțiilor de probabilitate. $X Y$ $\phi _{X}(t)=\phi _{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
Funcția caracteristică este întotdeauna mărginită:

|\phi _{X}(t)|\leq 1,\ \forall t\in \mathbb {R}

Funcția caracteristică la zero este egală cu unu:

\phi _{X}(0)\ =1

Funcția caracteristică este întotdeauna uniform continuă : . $\phi _{X}\in C(\mathbb {R} )$
Funcția caracteristică în funcție de o variabilă aleatoare este omogenă:

\phi _{aX}(t)=\phi _{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R}

Funcția caracteristică a sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul funcțiilor lor caracteristice. Fie variabile aleatoare independente. Să notăm . Apoi $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

\phi _{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(t)

Funcția caracteristică este hermitiană: pentru toate valorile reale , egalitatea este adevărată , unde înseamnă funcția complexă conjugată [1] . $t$ $\phi _{X}(-t)={\overline {\phi }}_{X}(t)$ ${\overline {\phi ))_{X}(t)$ $\phi _{X}(t)$
Teorema inversării (Levi). Fie funcția de distribuție și funcția ei caracteristică. Dacă și sunt puncte de continuitate , atunci $F$ $\phi$ $A$ $b$ $F$

F(b)-F(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^ {-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\phi (t)\,dt.

Funcția caracteristică este definită pozitiv: pentru fiecare număr întreg , pentru orice număr real și pentru orice număr complex , inegalitatea [2] este adevărată . Aici înseamnă conjugatul complex al unui număr. $m>0$ $u_{1},u_{2},...,u_{m)$ $z_{1},z_{2},...,z_{m)$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j)}}\geqslant 0$ ${\bar {z_{j)})$ $z_{j)$

Calculul momentelor

Dacă variabila aleatoare are un al- lea moment inițial , atunci funcția caracteristică are o derivată -- a continuă , adică și mai mult: $X$ $n$ $n$ $\phi _{X}\in C^{n}(\mathbb {R} )$

i^{n}\left.\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\phi _{X}( t)\right\vert _{t=0}

Transformată Fourier inversă

Să fie dată o variabilă aleatoare a cărei funcție caracteristică este egală cu . Apoi $X$ $\phi _{X}(t)\$

dacă este discret și ia valori întregi, atunci $X$

\mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{-itk}\,\phi _{ X}(t)\,dt,\;k\in \mathbb {Z}

;

dacă este absolut continuă și este densitatea sa, atunci $X$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\,\phi _{X}( t)\,dt,\;x\in \mathbb {R}

Condiții suficiente

Pentru ca o funcție să fie o funcție caracteristică a unei variabile aleatoare, este suficient ca aceasta să fie o funcție nenegativă, pară, continuă, convexă în jos și pentru ( teorema Titchmarsh-Polyi ). $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (t)\rightarrow 0$ $t\rightarrow\infty$

Condiții necesare și suficiente

Fie o funcție continuă și . Pentru ca o funcție să fie caracteristică, este necesar și suficient ca aceasta să fie o funcție definită pozitivă, adică pentru fiecare număr întreg , pentru orice număr real și pentru orice număr complex , inegalitatea ( teorema Bochner-Khinchin ) este satisfăcută. Aici înseamnă conjugatul complex al lui [2] . $\varphi (u)$ $u\in R^{n}$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (u)$ $m>0$ $u_{1},u_{2},...,u_{m)$ $z_{1},z_{2},...,z_{m)$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j)}}\geqslant 0$ ${\bar {z_{j)})$ $z_{j)$

Vezi și

Teorema de continuitate a lui Levi (metoda funcţiilor caracteristice).
Teorema limitei directe și inverse
Teorema Titchmarsh-Poyi
Teorema Bochner-Khinchin

Note

↑ B. Ramachandran Teoria funcțiilor caracteristice, M., Nauka, 1975
↑ 1 2 Korolyuk V. S. , Portenko N. I., Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Manual de teorie a probabilității și statistică matematică. - M., Nauka, 1985. - p. 65

Literatură

Linnik Yu.V. , Ostrovsky I.V. Descompoziții de variabile aleatoare și vectori, Nauka, M., 1972.
Lukacs E. Funcţii caracteristice. - M., Nauka, 1979. - 424 p.