Linii ecuangulare

Liniile ecuangulare sunt o familie de linii din spațiul euclidian, astfel încât unghiul dintre oricare două linii din această mulțime este același.

Calcularea numărului maxim de drepte echiunghiulare în spațiul euclidian n - dimensional este o problemă dificilă și în general nerezolvată, deși limitele sunt cunoscute. Numărul maxim de linii echiunghiulare în spațiul bidimensional este 3 - puteți desena linii prin vârfuri opuse ale unui hexagon obișnuit, apoi fiecare linie le va intersecta pe celelalte două la un unghi de 120 de grade. Numărul maxim în spațiul tridimensional este 6 - puteți desena linii prin vârfurile opuse ale icosaedrului . Numărul maxim de dimensiuni de la 1 la 18 este listat în Enciclopedia secvențelor întregi :

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, 48, 48, ...

În special, numărul maxim de linii echiunghiulare într-un spațiu de dimensiunea 7 este 28. Puteți obține aceste linii după cum urmează: luați vectorul (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1) în și formează toți cei 28 de vectori prin permutarea elementelor vectoriale. Produsul punctual al oricăror două dintre aceste linii este 8 dacă există două 3 în aceeași poziție și -8 în caz contrar. Astfel, liniile pe care se află acești vectori sunt echiunghiulare. Cu toate acestea, toți cei 28 de vectori sunt ortogonali cu vectorul (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) în , deci toți se află într-un subspațiu cu 7 dimensiuni. De fapt, acești 28 de vectori (și vectori negativi față de ei), până la rotații, sunt 56 de vârfuri ale politopului 3 21 . Cu alte cuvinte, ei sunt vectori de greutate ai reprezentării 56-dimensionale a grupului Lie E7 .

Liniile ecuangulare sunt echivalente cu două grafice . Să fie dat un set de drepte echiunghiulare și c egal cu cosinusul unghiului comun. Presupunem că unghiul nu este de 90° deoarece acesta este un caz trivial (nu este interesant, deoarece liniile sunt doar axe de coordonate). Atunci c nu este egal cu zero. Putem muta liniile astfel încât să treacă prin origine. Alegem un vector unitar pe fiecare linie. Formăm o matrice M de produse scalare . Această matrice are 1 pe diagonală și ± c în altă parte și este, de asemenea, simetrică. Dacă scădem matricea de identitate E și împărțim la c , obținem o matrice simetrică cu diagonala zero și ± 1 din diagonală. Și aceasta este matricea de adiacență Seidel a unui grafic cu două. Dimpotrivă, orice două grafice poate fi reprezentată ca un set de linii echiunghiulare [1] .

Note

  1. ↑ van Lint, Seidel, 1966 .

Literatură