Spatiu reflectorizant

Un spațiu reflexiv este un spațiu Banach (într-un caz mai general, un spațiu local convex ) care coincide cu al doilea său dual atunci când este încorporat canonic . $X$ $X^{{**}}$

Spații Banach reflexive

Fie un spațiu Banach peste câmpul numerelor complexe [1] , și să fie spațiul dual cu , adică mulțimea tuturor funcționalelor liniare continue cu norma $X$ ${{\mathbb C}}$ $X^{*}$ $X$ $f:X\to {\mathbb {C} }$

$||f||=\sup _{{||x||\leq 1}}|f(x)|$ .

Al doilea spațiu dual este definit ca spațiul dual către . Când este fixată , maparea este o funcțională liniară continuă pe , adică un element al spațiului . Prin urmare, maparea , , , este definită . Dacă este un izomorfism al spațiilor Banach, atunci se spune că spațiul Banach este reflexiv . O condiție suficientă pentru aceasta este surjectivitatea mapării , adică condiția . $X^{{**}}$ $X^{*}$ $x\în X$ $f\in X^{*}\mapsto f(x)\in {\mathbb {C} }$ $X^{*}$ $X^{{**}}$ $J_{X}:X\la X^{{**}}$ $J_{X}(x)(f)=f(x)$ $x\în X$ $f\în X^{*}$ $X$ $J_{X}:X\la X^{{**}}$ $J_{X}(X)=X^{{**}}$

Exemple

Spațiile și , , sunt reflexive, $\ell _{p}$ $L_{p}(a,b)$ $1<p<\infty$
Spațiile nu sunt reflexive. $Taxi]$ $L_{1}[a,b],L_{\infty }[a,b]$

Proprietăți

Un spațiu este reflexiv dacă și numai dacă este reflexiv. $X$ $X^{*}$
Un spațiu X este reflexiv dacă și numai dacă bilă unitară a acestui spațiu este slab compactă .
Un spațiu reflexiv este slab complet . Reversul nu este adevărat, există spații nereflexive slab complete, de exemplu . $L_{1}$
Un subspațiu închis al unui spațiu reflexiv este reflexiv.

Spații reflexive local convexe

Conceptul de reflexivitate se extinde în mod natural la spațiile convexe local .

Pentru orice spațiu local convex , notăm cu spațiul funcționalelor liniare continue pe dotate cu topologia puternică , adică topologia convergenței uniforme pe mulțimi mărginite în . Spațiul se numește spațiu dual al spațiului . Ca și în cazul Banach, al doilea spațiu dual este definit ca spațiu dual la . Formula , , definește o mapare naturală a spațiului în al doilea spațiu dual . $X$ $X^{*}$ $X$ $\beta (X',X)$ $X$ $X^{*}$ $X$ $X^{{**}}$ $X^{*}$ $J_{X}(x)(f)=f(x)$ $x\în X$ $f\în X^{*}$ $X$ $X^{{**}}$

Dacă o mapare este un izomorfism al spațiilor local convexe, atunci spațiul este numit spațiu reflexiv local convex . $J_{X}:X\la X^{{**}}$ $X$

Exemple:

În cazul particular când spațiul este Banach, reflexivitatea sa ca spațiu Banach este echivalentă cu reflexivitatea sa ca spațiu local convex. $X$
Spațiul funcțiilor netede pe o varietate netedă este reflexiv. ${{\mathcal C}}^{\infty }(M)$ $M$
Spațiul funcțiilor holomorfe pe o varietate analitică complexă este reflexiv. ${{\mathcal O}}(M)$ $M$

Spații stereotipe și alte generalizări ale reflexivității

Dintre toate spațiile convexe local (chiar și printre toate spațiile Banach) utilizate în analiza funcțională, clasa spațiilor reflexive este prea îngustă pentru a forma o categorie autosuficientă în orice sens. Ideea de dualitate reflectată de acest concept dă naștere totuși la așteptări intuitive că schimbările adecvate în definiția reflexivității pot duce la un alt concept mai convenabil pentru scopurile interne ale matematicii. Un astfel de obiectiv poate fi considerat ideea de a apropia analiza de alte părți ale matematicii, cum ar fi algebra și geometria , prin reformularea rezultatelor analizei în limbajul pur algebric al teoriei categoriilor .

Acest program este dezvoltat în teoria spațiilor stereotip , definite ca spații convexe local care satisfac o condiție de reflexivitate similară, însă cu topologia convergenței uniforme pe mulțimi total mărginite (în loc de mulțimi mărginite ) în definiția spațiului . Spre deosebire de spațiile reflexive clasice, clasa Ste a spațiilor stereotip este destul de largă (conține, în special, toate spațiile Fréchet și deci toate spațiile Banach ), formează o categorie monoidală închisă și admite operații standard (definite în Ste ) de construcție de noi spații, cum ar fi luarea unui subspațiu închis, a unui spațiu de coeficient separabil, limite proiective și injective, spații operator, produse tensorice etc. Categoria Ste are aplicații în teoria dualității grupurilor necomutative. $X^{*}$

În mod similar, se poate înlocui clasa de submulțimi mărginite (și complet mărginite) în definiția spațiului dual cu alte clase de submulțimi, de exemplu, clasa de submulțimi compacte din - spațiile definite de condiția de reflexivitate corespunzătoare se numesc reflective [ 2] [3] , și formează o clasă și mai largă decât Ste , dar nu se știe (2012) dacă această clasă formează o categorie cu proprietăți apropiate de cele ale Ste . $X$ $X^{*}$ $X$

Literatură

Shefer H. Spații vectoriale topologice. M.: Mir, 1971.
Dunford N., Schwartz J., Operatori liniari, partea 1 — Teoria generală, trad. din engleză, M., 1982;
Yosida K., Analiza funcțională, trad. din engleză, M., 1967;
Kantorovich L. V. , Akilov G. P. , Analiza funcțională, ed. I, M., 1977.
Trenogin V. A. Analiza functionala. — M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Analiza functionala / editor S. G. Kerin . — al 2-lea, revizuit și completat. — M .: Nauka , 1972 . — 544 p. — (Bibliotecă matematică de referință).

Peach A. Spații nucleare local convexe. — M .: Mir , 1967 .

Note

↑ ...sau peste câmpul numerelor reale cu o definiție similară. $\mathbb {R}$
↑ Garibay Bonales, F.; Trigos-Arrieta, FJ, Vera Mendoza, R. O caracterizare a dualității Pontryagin-van Kampen pentru spații local convexe // Topology and its Applications : jurnal. - 2002. - Vol. 121 . - P. 75-89 .
↑ Akbarov, SS; Shavgulidze, ET Despre două clase de spații reflexive în sensul lui Pontryagin (engleză) // Mat. Sbornik: jurnal. - 2003. - Vol. 194 , nr. 10 . - P. 3-26 .