Octogon neted

Un octogon aplatizat este o regiune a planului, care se presupune că are cea mai mică densitate de împachetare plană cea mai mare dintre toate figurile convexe simetrice central [1] . Figura se obține prin înlocuirea unghiurilor unui octogon regulat cu o secțiune a unei hiperbole , care este tangentă la două laturi ale unghiului și se apropie asimptotic de prelungirile laturilor octogonului adiacente laturilor unghiului.

Densitatea maximă de ambalare

Octogonul netezit are densitatea maximă de ambalare

{\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\aproximativ 0,902414\,.

[2]

Această densitate este mai mică decât densitatea maximă de împachetare a cercurilor , care este egală cu

{\frac {\pi }{\sqrt {12)}}\aproximativ 0,906899.

Densitatea maximă de împachetare a octogoanelor obișnuite este

{\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\aproximativ 0,906163,

care este, de asemenea, puțin mai mică decât densitatea maximă de împachetare a cercurilor, dar mai mare decât densitatea de împachetare a unui octogon netezit [3] .

Octogonul netezit atinge densitatea maximă de ambalare nu numai pentru o singură garnitură, ci și pentru o familie de garnituri cu un parametru. Toate acestea sunt împachetări cu zăbrele [4] .

Pentru un spațiu tridimensional , conjectura de împachetare Ulam afirmă că nu există nicio figură convexă cu cea mai mare densitate de împachetare mai mică decât împachetarea bilelor.

Clădire

Când se iau în considerare familiile de împachetare maxim dense ale unui octogon netezit, cerința ca densitatea de împachetare să rămână aceeași cu schimbarea punctelor de contact ale octogonilor vecini poate fi utilizată pentru a determina forma colțurilor. În figură, cele trei octogoane se rotesc în timp ce aria triunghiului format din centrele acestor octogoane nu se modifică. Pentru octogoane obișnuite, fragmentele de margine se suprapun, astfel încât pentru a se putea roti, colțurile trebuie tăiate într-un punct la jumătatea distanței dintre centrele octogoanelor, rezultând o curbă care se dovedește a fi o hiperbolă.

O hiperbolă este construită ca o tangentă la două laturi ale unui octogon, pentru care liniile care conțin laturile adiacente acestora sunt asimptotele sale. Să plasăm un octogon regulat cu raza cercului circumscris pe plan, astfel încât centrul său să fie în punct și un vârf să fie în punctul . Să definim două constante, ℓ și m : ${\sqrt {2}}$ $(2+{\sqrt {2)),0)$ $(2,0)$

\ell ={\sqrt {2}}-1

m={\sqrt[{4}]{\frac {1}{2)))

Atunci hiperbola este dată de ecuație

\ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2)

sau, în forma parametrizată echivalentă (numai pentru partea dreaptă a hiperbolei):

{\begin{cases}x={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y=m\sinh {t}\end{cases)),\;-\infty < t<\infty

Partea hiperbolei care formează colțurile octogonului este dată de valorile parametrului

-{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}

Liniile laturilor octogonului care sunt tangente la hiperbola sunt date de ecuații

y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)

Iar liniile drepte ale laturilor, care sunt asimptote ale hiperbolei, sunt date de ecuații

y=\pm \ell x.

Vezi și

Cercuri de ambalare
Conjectura de ambalare a lui Ulam

Note

↑ Reinhardt, 1934 , p. 216-230.
^ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Atkinson, Jiao, Torquato, 2012 .
↑ Kallus, 2013 .

Literatură

K. Reinhardt. Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven // Abh. Matematică. Sem. Hamburg. - 1934. - Emisiune. 10 . - S. 216-230 .
Steven Atkinson, Yang Jiao, Salvatore Torquato. Ambalări maxim dense de particule bidimensionale necirculare convexe și concave // Fiz. Rev. E. - 2012. - T. 86 , nr. 03 . Arhivat din original pe 24 august 2014.
Yoav Kallus. Forme de ambalare cele mai puțin eficiente // Geometrie și topologie. - 2013. - Mai.

Link -uri

Cel mai subțire ambalaj bidimensional dens? . Peter Scholl, 2001.