Latice (geometrie)

O rețea este un set de vectori spațiali euclidieni care formează un grup discret prin adunare. $\mathbb {R} ^{n}$

Concepte înrudite

Un sistem liniar independent de vectori care generează o rețea se numește baza sa . Două mulțimi de vectori generează aceeași rețea -dimensională dacă și numai dacă matricele și , compuse din vectorii coloană ai coordonatelor vectorilor acestor mulțimi, sunt conectate prin înmulțire dreaptă cu matricea unimodulară : , . Prin urmare, este posibil să se asocieze rețele de rang maxim în spațiul -dimensional cu clasele [1] . $n$ $B_1$ $B_{2}$ $B_{1}=B_{2}U$ $U\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $n$ $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Determinantul unei rețele este determinantul unei matrice compuse din coordonatele vectorilor care o generează. Este egal cu volumul regiunii sale fundamentale , care este un paralelipiped , și este numit și covolumul rețelei.

Norma unui vector în teoria rețelelor din spațiul euclidian este de obicei numită nu lungimea vectorului, ci pătratul său . $v$ $\|v\|^{2}$

Grila se numește: $\Gamma \subset \mathbb{R} ^{n}$

Număr întreg dacă produsul scalar al oricăror doi vectori ai săi este un număr întreg:

\forall u,v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb{Z } .

Chiar dacă norma oricăruia dintre vectorii săi este pară:

\forall v\in \Gamma \quad \langle v,v\rangle \in 2\mathbb {Z} .

Unimodular dacă paralelipipedul său fundamental are volumul 1.

Un vector diferit de zero al unei rețele se numește primitiv dacă nu este coliniar cu niciun vector mai scurt, diferit de zero, al acestei rețele.

Vectorul primitiv al rețelei, în raport cu reflexia de-a lungul căreia rețeaua este invariabilă, se numește rădăcina rețelei. Setul de rădăcini de zăbrele formează un sistem radicular . Fiecare rețea generată de rădăcinile sale este similară rețelei generate de vectori cu normele 1 sau 2. O astfel de rețea se numește rețea rădăcină [2] .

Dualul dintre o rețea la o rețea este o rețea care este notat cu sau și este definit ca $\Gamma$ $\Gamma ^{*}$ $\Gamma ^{\vee }$

\Gamma ^{*}=\{u\mid \forall v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb {Z} \}.

Un zăbrele se numește auto-dual dacă coincide cu dual-ul său față de sine.

O subrețea este un subgrup al unei rețele.

Se poate defini un obiect analog unei rețele într-un spațiu afín - o rețea afină; este orbita unui punct din spațiul afin sub acțiunea deplasărilor asupra vectorilor de rețea.

În fizică, rețelele din spațiul tridimensional, clasificate în funcție de simetriile lor, se numesc rețele Bravais , rețeaua duală este rețeaua reciprocă , paralelipipedul fundamental este celula unitară (primitivă) .

Graficul Cayley al unei rețele se mai numește și rețea ( infinită) .

Proprietăți

Dacă rețeaua este întreagă, atunci . $\Gamma$ $\Gamma \subset \Gamma ^{*}$
Covolumele rețelei și duala sa din produs dau 1.
O întreagă rețea unimodulară este automat auto-duală.
Chiar și rețelele auto-duale există doar în spații de dimensiuni divizibile cu opt.
Grupul de izometrie al unei rețele este întotdeauna finit.

Exemple

Rețea întregă , în special rețea pătrată
Rețea hexagonală
Grila E8
Lich Grid

Clase de izometrie și similaritate

Rețelele, ca și alte obiecte geometrice, sunt adesea considerate până la mișcări (izometrii în ele însele) ale spațiului euclidian înconjurător - rotații în jurul originii și reflexii în raport cu planurile care trec prin el. O astfel de transformare acționează asupra unei matrice compuse din coordonatele bazei rețelei, ca o înmulțire în stânga cu o matrice ortogonală . Prin urmare, clasele de izometrie ale rețelelor - clasele de echivalență ale rețelelor față de izometrii - pot fi asociate cu clase de adiacență cu două fețe ale grupului de matrici inversabile : [3] . $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z})$

De asemenea, în unele probleme, zăbrelele sunt considerate până la similitudine ; astfel de transformări acționează asupra unei matrice ca înmulțire cu elemente (mulțimi de numere reale diferite de zero). Clasele de similaritate ale rețelelor corespund claselor de adiacență [3] . $\mathbb {R} ^{*}$ $\mathbb {R} ^{*}\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm { GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Forme biliniare și pătratice

O definiție strâns legată, „ teoretică a numărului ”, a unei rețele este un grup abelian liber abstract de rang finit (adică izomorf ) cu o formă biliniară simetrică pozitiv-definită pe el; în loc de o formă biliniară, se poate specifica una pătratică . Pentru ca această definiție să fie echivalentă cu definiția „geometrică” a rețelelor (mai precis, clasele lor de izometrie) dată mai sus, trebuie luate în considerare formele pătratice până la o anumită relație de echivalență. $\mathbb{Z } ^{n}$

Dacă sunt date o rețea și baza acesteia, atunci matricea formei pătratice corespunzătoare este matricea Gram a acestei baze. O formă pătratică definită pozitivă ca funcțională poate fi dată ca , (atunci matricea formei pătratice este ), și nu se schimbă dacă vectorul este supus unei transformări ortogonale, deci formele pătratice definite pozitive sunt în unu-la -o corespondență cu clasele . Dacă considerăm forme echivalente ale căror matrice și sunt legate printr-o matrice unimodulară ca , atunci clasele de echivalență ale formelor pătratice se dovedesc a fi în corespondență unu-la-unu cu clasele — și astfel cu clasele de izometrie ale rețelelor [3] . $\mathbb {R} ^{n}$ $v\mapsto \|Av\|^{2)$ $A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q=A^{\mathrm {T} }A$ $Av$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q_1$ $Q_{2}$ $U$ $U^{\mathrm {T} }Q_{1}U=Q_{2)$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z})$

Pe plan complex

În cazul bidimensional, se pot identifica spațiul euclidian ambiental cu planul complex , iar vectorii de rețea cu numere complexe. Dacă baza orientată pozitiv a rețelei este reprezentată de o pereche de numere complexe , atunci printr-o transformare de similitudine se poate trece la o rețea cu o bază , după care schimbarea bazei în rețea cu păstrarea orientării va corespunde unei transformarea liniar-fracțională a semiplanului superior - un element al grupului modular . $(\omega _{1},\omega _{2})$ $(1,\omega _{2}/\omega _{1})$

Aplicații

Diverse probleme geometrice sunt asociate cu rețelele, cum ar fi împachetarea strânsă a sferelor egale . De asemenea, codurile pentru codificarea de corectare a erorilor se bazează pe rețele . Multe probleme din teoria rețelei stau la baza criptografiei rețelei .

Generalizări

Dacă asociem cu un grup abelian liber o formă biliniară care nu este definită pozitivă, atunci rezultatul va fi o rețea într-un spațiu pseudo-euclidian .
O rețea de rang maxim în are un domeniu fundamental de volum finit. În teoria grupurilor Lie și a altor zone , o rețea dintr-un grup este un subgrup discret, volumul spațiului coeficient al grupului față de care este finit, ceea ce generalizează această proprietate. $\mathbb {R} ^{n}$ $G$ $G$
Dintr-un punct de vedere algebric mai general, o rețea este un modul liber încorporat într-un spațiu vectorial peste un câmp numeric conținut în . Se poate generaliza acest concept luând în considerare un modul arbitrar fără torsiune generat finit peste un inel integral , încorporat într-un spațiu vectorial peste un câmp de coeficienti pentru [4] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R$ $R$

Note

↑ Martinet, 2003 , p. 3.
↑ Martinet, 2003 , p. 131-135.
↑ 1 2 3 Martinet, 2003 , p. 20-22.
↑ Reiner, I. Ordine maxime . - Oxford University Press , 2003. - Vol. 28. - P. 44. - (London Mathematical Society Monographies. New Series). — ISBN 0-19-852673-3 .

Literatură

J. Conway, N. Sloan. Ambalaje de bile, zăbrele și grupuri. — M.: Mir, 1990.
Jacques Martinet. Latice perfecte în spații euclidiene. - Springer, 2003. - Erratum . - ISBN 978-3-642-07921-4 . - doi : 10.1007/978-3-662-05167-2 .