Relație simetrică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 septembrie 2018; verificările necesită 4 modificări .

În matematică , o relație binară pe o mulțime X se numește simetricif pentru fiecare pereche de elemente a mulțimii , îndeplinirea relației atrage după sine îndeplinirea relației . $R$ $(a,b)$ $a\,R\,b$ $b\,R\,a$

Formal, relația este simetrică dacă . $R$ $\forall a,b\in X,\a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$

Antisimetria unei relații nu este antonimul unei relații simetrice. Ambele proprietăți sunt adevărate pentru unele relații în același timp, iar pentru altele nici una nu este adevărată. Poate fi considerat un antonim al unei relații asimetrice , deoarece singura relație binară care este atât simetrică, cât și asimetrică este o relație goală.

Exemple

Orice relație de echivalență , prin definiție, este simetrică (precum și reflexivă și tranzitivă ). Relația de legătură a vârfurilor unui graf (nedirecționat) este de asemenea simetrică.

Nu sunt simetrice (cu excepția cazului de falsitate identică a relației) relații de ordine (atât complete cât și parțiale), precum și relația de succesiune a vârfurilor unui graf direcționat . Cu toate acestea, relația de comparabilitate pentru o comandă parțială este, prin construcție, simetrică (deși, spre deosebire de ordinea în sine, nu este tranzitivă).

Matricea raportului simetric este simetrică față de diagonala principală (coincide cu cea transpusă). Dacă există o legătură între două vârfuri într-un grafic al unei relații simetrice, atunci există și un feedback.