Relația de comandă

O relație de ordine este o relație binară (denumită în continuare sau ) între elementele unei mulțimi date, similară în proprietățile sale cu proprietățile relației de inegalitate . $\preccurlyeq$ $\prec$

O mulțime, ale cărei elemente sunt comparabile printr-o relație de ordine dată (adică pentru orice , sau ), se numește ordonată liniar , iar relația de ordine se numește ordine liniară . Dacă nu toate elementele inegale sunt comparabile, ordinea se numește parțial , iar mulțimea se numește parțial ordonată . Există, de asemenea, o ordine strictă , în care este imposibil, și nestrictă altfel [1] . $a\neq b$ $a\precurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $\prec$ $a\prec a$ $\preccurlyeq$

Exemple [1] .

Relația pentru numerele reale definește o ordine liniară nestrict pentru ele. $\leqslant$
Raportul pentru numerele reale definește o ordine liniară strictă pentru ele. $<$
Relația de divizibilitate pe mulțimea numerelor naturale : dacă este un divizor Aceasta este o ordine parțială nestrict, deoarece nu toate numerele naturale sunt divizibile între ele fără rest . $a|b,$ $A$ $b.$
Relația de includere pe mulțimea de submulțimi ale unei mulțimi date definește, de asemenea, o ordine parțială nestrictă.
Relația (strămoș, descendent) pe o populație de animale este o ordine parțială strictă.

Definiții

Relația de ordin parțial nestrict (reflexiv) ( ) pe mulțime este o relație binară , pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții pentru oricare dintre ele [2] : $\preccurlyeq$ $X$ $a,b,c$ $X$

Reflexivitate : . $a\precurlyeq a$
Antisimetrie : dacă și , atunci . $a\precurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $a=b$
Tranzitivitate : dacă și , atunci . $a\precurlyeq b$ $b\preccurlyeq c$ $a\precurlyeq c$

De asemenea, este convenabil să se definească suplimentar relația de ordine strictă (antireflexivă) ( ) pentru relația de pe aceeași mulțime [1] : $\preccurlyeq$ $\prec$

a \prec b

, dacă și în același timp

a\precurlyeq b

a\neq b.

Proprietățile unei relații stricte diferă de proprietățile unei relații nestrictive:

Antireflexivitate : ; $a\nu \prec a$
Asimetrie : dacă , atunci ; $a\prec b$ $b\nu \prec a$
Tranzitivitate : dacă și , atunci . $a\prec b$ $b\prec c$ $a\prec c$

A 2-a proprietate nu este independentă, rezultă din antireflexivitate și tranzitivitate. Prin urmare, o relație este o relație de ordine strictă dacă și numai dacă este antireflexivă și tranzitivă.

O mulțime în care este introdusă o relație de ordine strictă sau non-strict se numește parțial ordonată . Dacă, în plus, pentru orice element este îndeplinită suplimentar una dintre condiții: sau atunci ordinea se numește liniară , iar mulțimea este ordonată liniar [2] . $X$ $a\neq b$ $a\prec b$ $b\prec a,$

Istorie

Semnele au fost propuse de omul de știință englez Thomas Harriot în lucrarea sa, publicată postum în 1631 [3] . $<$ $>$

Definiția unei mulțimi parțial ordonate a fost formulată pentru prima dată în mod explicit de F. Hausdorff [4] , deși axiome de ordine similare au fost luate în considerare de G. Leibniz în jurul anului 1690. Definiția mulțimilor ordonate liniar și complet ordonate a fost dată mai întâi de G. Kantor [5] .

Variații și generalizări

Dacă o mulțime ordonată formează un fel de structură algebrică, atunci este de obicei necesar ca ordinea din această structură să fie consecventă cu operațiile algebrice. Vezi articole despre asta:

Uneori este util să luăm în considerare relații pentru care sunt valabile doar prima și a treia axiomă (reflexivitate și tranzitivitate); astfel de relații se numesc preordonare sau cvasiordine . Dacă este o cvasi-ordine, atunci relația dată de formula [6] : $\prec$

a\equiv b,

dacă și

a \prec b

b\prec a,

va fi o relație de echivalență . Pe o mulțime de câte, prin această echivalență, o ordine non-strict poate fi definită după cum urmează [6] :

[a]\preccurlyeq [b],

dacă

a\prec b,

unde este clasa de echivalență care conține elementul $[X]$ $X.$

Vezi și

teorema lui Spielrain

Note

↑ 1 2 3 Kurosh, 1973 , p. 16, 20-22.
↑ 1 2 Nechaev, 1975 , p. 78.
↑ Alexandrova N. V. Istoria termenilor matematici, concepte, notație: Dicționar-carte de referință . - Ed. a 3-a. - Sankt Petersburg. : LKI, 2008. - S. 111 -112. — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre, Lpz., 1914.
↑ Set parțial ordonat // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5. - S. 833-836. — 1248 p.
↑ 1 2 Ordine // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 505. - 1216 p.

Literatură

Kurosh A. G. Prelegeri despre algebră generală. - Ed. a II-a. — M .: Fizmatlit , 1973.
Nechaev V. I. Sisteme numerice. - M . : Educaţie, 1975. - 199 p.