Suport Iverson

Paranteza Iverson este o funcție care returnează 1 dacă afirmația este adevărată și 0 dacă argumentul este fals:

[\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{if }}P{\text{ true}}\\0,&{\text{if }}P{\ text{ false}}\end{cases}}

Notația a fost introdusă de Kenneth Iverson pentru limbajul de programare APL și s-a dovedit a fi o notație matematică foarte convenabilă, de exemplu, cu ea puteți defini succint:

Simbol Kronecker : , $\delta_{ij} = [\,i=j\,]$
functie indicator : , $\mathbf{1}_A(x) = [\,x \in A\,]$
Funcția Heaviside : , $\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]$
funcția semn numeric : . $\sgn(x) = [\,x >0\,] - [\,x < 0\,]$

De asemenea, notația este convenabilă atunci când manipulați sumele , deoarece vă permite să le exprimați fără restricții privind indicele de însumare, de exemplu:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]

adică, indicele parcurge întregul set de numere întregi și un număr infinit de termeni sunt însumați în mod formal , dar numai un număr finit dintre ei este diferit de zero. $k$ $\mathbb {Z}$

Un exemplu de calcul folosind notația de sumă a lui Iverson pentru o secvență : $S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j)$ $\{a_{i}\)$

[\,i < j\,] + [\,i = j\,] + [\,i >j\,] = 1

\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[ \,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i }a_{j}

S + \sum\limits_{i} a_i^2 + S = \biggl(\sum\limits_{i} a_i \biggr)^2

si in ceea ce priveste partea dreapta:

{\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{i}a_{j}=\sum \ limite _{i}a_{i}\sum \limits _{j}a_{j}={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2))

apoi:

S = \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_i a_j = \frac{1}{2} \biggl(\sum_{i=1}^n a_i \biggr)^2 - \frac{1} {2}\sum_{i=1}^n a_i^2

Literatură

Graham R., Knut D., Patashnik O. Concrete Mathematics. — M .: Mir, 1998. — 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
Kenneth E. Iverson. Un limbaj de programare. - Universitatea din California: Wiley, 1962. - 286 p. — ISBN 0471430145 .