Funcția Heaviside

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 februarie 2021; verificările necesită 8 modificări .

Funcția Heaviside ( funcția pas unitar , funcția salt unitar , unitate inclusă , „pas” ) este o funcție constantă pe bucăți egală cu zero pentru valorile negative ale argumentului și una pentru cele pozitive [1] . La zero, această funcție în general nu este definită, dar este de obicei extinsă în acest punct cu un anumit număr, astfel încât domeniul funcției să conțină toate punctele axei reale. Cel mai adesea, nu contează ce valoare ia funcția la zero, așa că pot fi utilizate diverse definiții ale funcției Heaviside, convenabile dintr-un motiv sau altul , de exemplu:

\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}

Funcția Heaviside este ușor de scris folosind paranteza Iverson :

\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,].

Funcția Heaviside este utilizată pe scară largă în aparatul matematic al teoriei controlului și al teoriei procesării semnalului pentru a reprezenta semnale care trec de la o stare la alta la un anumit moment în timp. În statistica matematică , această funcție este folosită, de exemplu, pentru a scrie funcția de distribuție empirică . Numit după Oliver Heaviside .

Funcția Heaviside este antiderivată pentru funcția delta Dirac , , care poate fi scrisă și ca (integrala definită este un număr, integrala nedefinită [2] este folosită pentru a descrie antiderivata ): $\theta '=\delta$

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\!\delta (t)\,dt.

Forma discretă

Se poate defini funcția Heaviside discretă ca o funcție a unui argument întreg : $n$

\theta [n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}

unde este un număr întreg . $n$

Pulsul unitar discret este prima diferență a funcției discrete Heaviside:

\delta[n]=\theta[n]-\theta[n-1].

Forme analitice

Pentru o utilizare mai convenabilă, funcția Heaviside poate fi aproximată folosind o funcție continuă:

\theta (x)\aprox {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {th}}\,kx={\frac {1}{1+e^ {{-2kx}}}},

unde cea mai mare corespunde unei creșteri mai abrupte a funcției în punctul . Având în vedere lățimea necesară a regiunii de tranziție a funcției Heaviside , valoarea poate fi estimată ca . $k$ $x=0$ $\Delta {x}$ $k$ $k\aprox {\frac {10}{\Delta {x}}}$

Dacă acceptăm , ecuația poate fi scrisă sub forma limitativă: $\theta(0)=1/2$

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}{\frac {1}{2}}(1+{\mathrm {th}}\,kx)=\lim _{{k\ la \infty }}{\frac {1}{1+e^{{-2kx}}}}.

Există câteva alte aproximări prin funcții continue:

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}} \,kx\dreapta);

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,{\mathrm {erf} }\,kx\dreapta).

Înregistrare

Forma integrală a funcției de identitate este adesea folosită și este utilă:

\theta (x)=-\lim _{{\varepsilon \to 0^{+}}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{{-\infty }}^{ \infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{{-ix\tau }}\,d\tau .

Valoare zero

Valoarea unei funcții la zero este adesea dată ca , sau . - cea mai comună opțiune, deoarece din motive de simetrie la punctul de discontinuitate de primul fel, este convenabil să se extindă funcția prin media aritmetică a limitelor unilaterale corespunzătoare, în plus, în acest caz, funcția Heaviside este legate de funcția semn : $\theta(0)=0$ $\theta(0)=1/2$ $\theta(0)=1$ $\theta(0)=1/2$

\theta (x)={\frac {1}{2}}(1+\operatorname{sgn} x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2} },&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

care, ținând cont de definiția funcției semn, poate fi exprimată ca

\theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {|x|}{x}}\right)={\frac {x+|x|}{ 2x}}

O valoare zero poate fi specificată explicit într-o intrare de funcție:

\theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

transformata Fourier

Derivata funcției Heaviside este egală cu funcția delta (adică funcția Heaviside este antiderivată a funcției delta):

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\delta (t)\,dt

Prin urmare, aplicând transformata Fourier la funcția delta antiderivată , obținem imaginea acesteia de forma: $\theta (t)$

{\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega ),

acesta este:

\theta (t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1 }{2}}\delta (\omega )\right)e^{{i\omega t}}\,d\omega

(al doilea termen - corespunzător frecvenței zero în expansiune - descrie o deplasare constantă în sus a funcției Heaviside; fără ea, s-ar obține o funcție impară ).

Istorie

Această funcție a fost folosită chiar înainte de apariția notării sale convenabile. De exemplu, Guglielmo Libri în anii 1830 a publicat mai multe lucrări [3] [4] despre funcția . În opinia sa, este egal cu dacă ; if (vezi Zero la puterea lui zero ); sau dacă . Astfel, Libri concluzionează că este egal cu 1 dacă , și 0 în caz contrar. Folosind notația Iverson , aceasta ar putea fi scrisă ca $0^{0^{x)}$ $0^{x)$ $0$ $x>0$ $unu$ $x=0$ $\infin$ $x<0$ $0^{0^{x)}$ $x>0$

0^{0^{x}}=[\,x>0\,].

Cu toate acestea, nu exista o astfel de notație la acea vreme, iar Libri a considerat o realizare ca această funcție să poată fi exprimată în termeni de operații matematice standard. El a folosit această funcție pentru a exprima valoarea absolută (nu exista o desemnare atunci, a fost introdusă mai târziu de Weierstrass ) și un indicator de condiții precum , și chiar „ este un divizor ” [5] . $|x|$ $a\leq x\leq b$ $X$ $y$

Vezi și

Note

↑
În teoria controlului automat și în teoria operatorilor Laplace, este adesea notat ca . În literatura engleză, sau este adesea desemnat . Vezi, de exemplu, $\scriptstyle {\eta (x)}$ $\scriptstyle {H(x)}$ $\scriptstyle {1(x)}$
- Volkov I.K., Kanatnikov A.N. Transformări integrale și calcul operațional: Proc. pentru universități / Ed. BC Zarubina, A. P. Krishchenko. - Ed. a II-a. - M . : Editura MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 228 p. — (Matematică la Universitatea Tehnică; Numărul XI). — ISBN 5-7038-1273-9 . ;
- Metode ale teoriei clasice și moderne a controlului automat: Manual în 5 vol.; Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare Vol. 1: Modele matematice, caracteristici dinamice și analiza sistemelor automate de control / Ed. K. A. Pupkova, N. D. Egupova. - M .: Editura MSTU im. N. E. Bauman, 2004. - 656 p. - ISBN 5-7038-2189-4 (vol. 1).
↑ Zorich V.A. Analiza matematică. Partea I .. - M.: MTSNMO, 2012. - S. 358.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . Mémoire sur les fonctions se întrerupe, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ Donald E. Knuth, Două note despre notație, Amer. Matematică. Lunar 99 nr. 5 (mai 1992), 403-422 ( arXiv: math/9205211 [math.HO] Arhivat la 20 noiembrie 2018 la Wayback Machine ).