Set aleatoriu

O mulțime aleatorie este o mapare măsurabilă a unei familii de rezultate elementare ale unui spațiu de probabilitate arbitrar într-un spațiu oarecare , ale cărui elemente sunt mulțimi . $K$ $(\Omega, {\mathcal {A}),\mathbf {P} )$ ${\mathcal {M}}$

Există diferite definiții ale conceptului. Set aleatoriu în funcție de structura setului de valori. Astfel, dacă este un spațiu topologic , atunci măsurabilitatea este înțeleasă în sensul Borel. Cele mai frecvente cazuri sunt: ${\mathcal {M}}$

${\mathcal {M}}={\mathcal {F}}$ - spaţiul topologic al mulţimilor închise (al unui spaţiu topologic numit bază), atunci mulţimea aleatorie este o mulţime închisă aleatoriu; $S$
${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}$ este spaţiul topologic al mulţimilor deschise, apoi S.m. există un set deschis aleatoriu;
${\mathcal {M}}={\mathcal {H}}$ — spațiu topologic al perechilor (interiorul unei mulțimi, închiderea unei mulțimi); aici se ajunge la așa-numitele seturi aleatoare fizic diferite [1]
${\mathcal {M}}={\mathcal {K}}$ este un spațiu topologic de mulțimi compacte, în acest caz se obține o mulțime compactă aleatorie ;
${\mathcal {M}}={\rm {conv}}({\mathcal {K}})$ este un subspațiu al elementelor convexe , obținându-se astfel o mulțime convexă aleatorie. $\mathcal{K}$

Pentru a specifica distribuția unei mulțimi închise aleatoriu, se folosește o funcțională însoțitoare, în termenii căreia este convenabil să descriem multe proprietăți ale unei mulțimi aleatoare. Teoria mulțimilor aleatoare deschise, compacte și distincte fizic este obținută din teoria mulțimilor închise aleatoare cu ajutorul reformulărilor standard.

Pentru a rezolva unele probleme, este suficient să folosiți valorile funcționalei însoțitoare pe mulțimi finite - așa-numita lege a distribuției de puncte a unei mulțimi aleatoare, care în cazul general nu determină în mod unic distribuția unei mulțimi aleatoare. Există, totuși, o clasă de mulțimi aleatoare separabile pentru care legea punctual definește complet distribuția: aceasta este o mulțime aleatoare cu proprietatea , unde este numărabilă și peste tot dens în . $K$ $K={\overline {K\cap D)}$ $D$ $S$

Clase speciale importante de mulțimi aleatoare sunt mulțimi aleatoare divizibile la infinit, mulțimi aleatoare gaussiene, mulțimi aleatoare izotrope, mulțimi aleatoare semi-Markov, mulțimi aleatoare staționare, mulțimi aleatoare stabile.

Există și alte moduri de a defini o mulțime aleatorie care nu necesită o topologie preliminară (de bază); cele mai importante dintre ele: metoda lui Kendall, bazată pe conceptul de „capcane” [2] ; metoda de reducere la funcții aleatoare (de exemplu, funcții de sprijin în cazul convexității mulțimilor); o metodă care utilizează metrica Kolmogorov-Hamming (o măsură a diferenței simetrice a mulțimilor).

Cele mai dezvoltate secțiuni ale teoriei lui S.m. sunt teoreme limită pentru mulțimi aleatoare, precum și diverse definiții și metode de calcul a caracteristicilor numerice și a caracteristicilor de mulțime ale distribuțiilor S.m. (Seturi medii, set-medie, set-mediană, set-expectancy etc.).

Note

↑ Matheron, J. (1978) Seturi aleatoare și geometrie integrală, trad. din engleză, M.: Mir.
↑ Kendall DG (1974) în Stochastic geometry, NY

Literatură

Choquet G. (1953-54) „Ann.Inst.Fourier”, vol.5, p. 131-295;
Lyashenko N. N. (1999) Set aleatoriu. Probabilitate și statistică matematică. Enciclopedie. Ch. ed. Yu. V. Prohorov. M.: BRE.