Set compact aleatoriu

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 martie 2021; verificările necesită 4 modificări .

O mulțime compactă aleatorie este o variabilă aleatoare cu valori în mulțimi compacte . Seturile compacte aleatoare sunt utilizate în studiul atractorilor sistemelor dinamice aleatorii .

Definiție

Fie mulțimea tuturor submulților compacte ale . Se poate defini metrica Hausdorff : $\mathcal{K}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathcal{K}$ $h$

h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus B(0,\varepsilon), K_{2 }\subseteq K_{1}\bigoplus B(0,\varepsilon )\right\}.

Cu o astfel de metrică , setul devine un spațiu metric complet separabil . Submulțimile deschise corespunzătoare generează algebra Borel a mulțimii . $h$ $\mathcal{K}$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}_{K}$ $\mathcal{K}$

Atunci o mulțime compactă aleatorie este o funcție măsurabilă de la un spațiu de probabilitate la un spațiu măsurabil . Mulțimile compacte aleatoare în acest sens sunt aceleași cu mulțimile închise aleatoare ale lui Matheron [1] . Prin urmare, distribuția lor este dată de probabilități $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$ $({\mathcal {K}), {\mathfrak {B}}_{K})$

\mathbf {P} (X\cap K=\emptyset),\\\K\in {\mathcal {K)).

Distribuția unei mulțimi convexe compacte aleatoare este dată și de sistemul tuturor probabilităților de includere $\mathbf {P} (X\subset K).$

Definiții înrudite

Pentru , este definită probabilitatea care satisface relația Apoi funcția de acoperire poate fi specificată prin formula Funcția de acoperire ia valori între și și poate fi interpretată ca așteptarea funcției indicator $K=\{x\}$ $\mathbf {P} (x\in X)$ $\mathbf {P} (x\in X)=1-\mathbf {P} (x\nu \in X).$ $p_{X}$ $p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\;x\in \mathbb {R} ^{2}.$ $0$ $unu$ $\mathbf {1} _{X}(x):$ $p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).$

Mulțimea tuturor c se numește bază $b_{X}$ $x\in \mathbb {R} ^{2}$ $p_{X}(x)>0$ $X.$

Mulțimea tuturor cu se numește nucleu , mulțime de puncte fixe sau minim esențial . Dacă este o secvență de mulțimi compacte aleatoare independente distribuite identic , atunci aproape sigur și converge aproape sigur către $k_{X}$ $x\in \mathbb {R} ^{2}$ $p_{X}(x)=1$ $e(X)$ $X_{1},X_{2},\ldots$ $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$ $\bigcap _{i=1}^{\infty}X_{i)$ $e(X).$

Note

↑ Matheron, J. (1978) Seturi aleatoare și geometrie integrală, trad. din engleză, M.: Mir.

Literatură

Matheron, J. (1978) Seturi aleatoare și geometrie integrală, trad. din engleză, M.: Mir.
Stoyan D. și H. Stoyan (1994) Fractali, forme aleatoare și câmpuri de puncte. John Wiley & Sons, Chichester, New York.