Derivată parțială mixtă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 februarie 2016; verificările necesită 4 modificări .

Definiție

Fie funcția și derivatele sale parțiale $z=f(x,\;y)$

{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y)}

sunt definite într-o vecinătate a punctului . Apoi limita $(x_{0},\;y_{0})$

\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0},y_{0}+\Delta y)}{\partial x)} -{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x)))){\Delta y)),

dacă există, se numește derivată mixtă (adiacentă) a funcției în punct și se notează . $f(x,\;y)$ $(x_{0},\;y_{0})$ ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x))$

În mod similar, este definit ca ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0})}{\partial y ))-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y)))){\Delta x)),

dacă există.

Derivatele parțiale mixte de ordin mai mare de două sunt definite inductiv.[ clarifica ]

Denumire

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x)}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x))=f'' _{yx}=z''_{yx}$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y))=f'' _{xy}=z''_{xy}$

Proprietăți

Dacă derivatele mixte sunt continue într-un punct, atunci egalitatea este valabilă . ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x)}$

Exemplu Schwartz

f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2} ))),\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}f( 0,\;0)}{\partial x\partial y))=-1\neq 1={\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial y\partial x} }

Adică, derivatele mixte din exemplul Schwartz nu sunt egale.

Există o teoremă privind egalitatea derivatelor mixte

Teorema lui Schwartz

Să fie îndeplinite următoarele condiții:

funcţiile sunt definite într-o vecinătate a punctului . $z=f(x,\;y),\;{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y)),\; {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$ $(x_{0},\;y_{0})$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x)}$ sunt continue la punctul . $(x_{0},\;y_{0})$

Atunci , adică derivatele mixte de ordinul doi sunt egale în fiecare punct în care sunt continue. ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}$

Teorema Schwartz privind egalitatea derivatelor parțiale mixte se extinde inductiv la derivatele parțiale mixte de ordin superior, cu condiția ca acestea să fie continue.

Totuși, condiția de continuitate pentru derivatele mixte nu este deloc necesară în teorema lui Schwarz.

Exemplu

$f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}, \quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow$ derivatele mixte de ordinul doi sunt egale peste tot (inclusiv la punctul ), dar derivatele parțiale de ordinul doi nu sunt continue la punctul $(0,\;0)$ $(0,\;0)$

Dovada

De atunci $f(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} ,f(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$ ${\frac {\partial f}{\partial x)}(0,\;0)={\frac {\partial f}{\partial y))(0,\;0)=0$

În alte puncte

${\frac {\partial f}{\partial x))(x,\;y)={\frac {2xy^{4)} {(x^{2}+y^{2})^ {2}}}$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;y)={\frac {2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2}) ^{2}}}$

În acest fel,

${\frac {\partial f}{\partial x)}(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$

${\frac {\partial f}{\partial x)}(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R}$

Prin urmare,

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}=0$

La $(x,\;y)\neq (0,\;0)$

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}={\frac {8x^{3}y^{3}}{(x^{2}+y^{2 })^{3}}}$

Este ușor de observat că a doua derivată mixtă are o discontinuitate la , deoarece $(0,\;0)$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;x)=1$ și, de exemplu,

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;-x)=-1$

[1] .

Note

↑ Ter-Krikorov A. M. , Shabunin M. I. Capitolul 5. Funcțiile multor variabile // Curs de analiză matematică. - Ed. a II-a. - M. : MIPT, 1997. - S. 283. - 716 p. — ISBN 5-89155-006-7 .