Convenția Einstein

În analiza tensorială , în special în aplicațiile sale la relativitatea generală , elasticitatea și geometria diferențială , atunci când scrieți expresii din cantități multicomponente numerotate cu superscripte și subscripte ( tensori ), este convenabil să folosiți o regulă numită convenția Einstein (cunoscută și sub denumirea de " Regula de însumare a lui Einstein "): dacă aceeași literă din desemnarea indexului apare într-un monom atât deasupra cât și dedesubt, atunci se presupune că un astfel de monom este însumat peste toate valorile pe care le poate lua acest indice. De exemplu, în expresia

v_k=a_ib^i_k

indicele apare atât deasupra cât și dedesubt, astfel încât această expresie este considerată echivalentă cu suma $i$

v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.

Mai precis

v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k,

unde este dimensiunea spațiului pe care sunt definite și (aici se presupune că numerotarea coordonatelor pleacă de la unu). $n$ $A$ $b$

Indicele peste care se efectuează însumarea se numește mut ; poate fi înlocuită cu orice literă, în timp ce valoarea expresiei în care intră nu se modifică (evident, ). Dacă indicele nu este mut ( un indice liber), trebuie să apară în aceeași poziție în ambele părți ale (in)egalității; de fapt, în acest caz, o expresie este un sistem de expresii (egalități sau inegalități), al căror număr este egal cu n s , unde s este numărul de indici liberi. De exemplu, dacă dimensiunea n = 4 , atunci expresia $a_{i}b^{i}\equiv a_{j}b^{j)$

r_{lk}=p_{li}q_{k}^{i)

cu doi indici liberi k și l este o notație scurtă de 4 2 =16 egalități, în partea dreaptă a fiecăruia dintre ele fiind suma a patru produse:

r_{11}=p_{11}q_{1}^{1}+p_{12}q_{1}^{2}+p_{13}q_{1}^{3}+p_{14 }q_{1}^{4};

r_{12}=p_{11}q_{2}^{1}+p_{12}q_{2}^{2}+p_{13}q_{2}^{3}+p_{14 }q_{2}^{4};

...

r_{44}=p_{41}q_{4}^{1}+p_{42}q_{4}^{2}+p_{43}q_{4}^{3}+p_{44 }q_{4}^{4}.

În cazul utilizării expresiilor sub formă de fracții, cum ar fi derivatele parțiale, superindicele scrise la numitor sunt considerate a fi indice pentru aplicarea regulii și invers; de exemplu, expresia

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i)}}dx_{i},

este scris sub forma

{\frac {\partial f}{\partial x_{i)}}dx_{i)

sau într-o formă și mai simplă, când virgula dinaintea indexului denotă diferențierea parțială față de coordonatele corespunzătoare:

f^{,i}dx_{i}.

În unele cazuri [1] (dacă se presupune că tensorul metric este întotdeauna egal cu δ ik ), indicii superiori și inferiori în formule nu se disting. În acest caz, însumarea se efectuează pe orice pereche de indici repeți care apar în același produs de tensori. De exemplu, în spațiul euclidian tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$

D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }.

Folosind convenția standard Einstein , ar trebui să scrieți . $D^{\alpha}_{\beta}n_\alpha$

Note

↑ De exemplu, în teoria elasticității. Vezi L. D. Landau și E. M. Lifshitz, Fizica teoretică. T. VII. Teoria elasticității. — M .: Nauka, 1987.