Spațiu strict normat

În matematică , spațiile strict normate sunt o subclasă importantă de spații normate , care sunt similare ca structură cu spațiile Hilbert . Pentru astfel de spații a fost rezolvată problema unicității aproximărilor, iar această proprietate este utilizată pe scară largă în matematica computațională și fizica matematică. În plus, într-un spațiu strict normat, un segment care conectează două puncte ale unei sfere arbitrare se va afla în întregime strict în interiorul (cu excepția punctelor limită) unei bile deschise delimitate de această sferă.

Un spațiu normat X se numește strict normat (sau strict convex ) dacă pentru îndeplinirea arbitrară a condiției , există astfel încât . $x,y\în X$ $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $y=\lambda x$

Proprietăți ale spațiilor strict normate

Fie X un spațiu strict normat și L un subspațiu liniar al . Atunci pentru că există cel mult un element astfel încât . $\forall x\in X$ $u\in L$ $\rho (x,L)=\|xu\|$

Elementul se numește elementul de cea mai bună aproximare prin x elemente din L . Existența unui element de cea mai bună aproximare este asigurată de următoarea teoremă. $u$

Teorema . Fie X un spațiu normat și L un subspațiu liniar finit-dimensional. Atunci pentru că există un element de cea mai bună aproximare . $\forall x\in E$ $u\in L$

Mai mult, într-un spațiu normat, dar nu strict normat, elementul celei mai bune aproximări, în general, nu este unic.

Fiecare bilă dintr-un spațiu strict normat este o mulțime strict convexă . Este adevărat și invers, dacă fiecare bilă dintr-un spațiu normat este o mulțime strict convexă, atunci spațiul dat este strict normat.
Un spațiu normat X este strict normat dacă și numai dacă condiția implică întotdeauna că . $\forall x,y\in X:\|x\|=1,\|y\|=1,x\neq y$ $\|x+y\|<2$

Exemple de spații strict normate

$\mathbb R^2$ cu norma . Totuși, normele și pe care sunt echivalente cu norma nu generează un spațiu strict normat (vezi figura). $\|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2)))$ $\|\mathbf {x} \|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|\))$ $\mathbb R^2$ $\|\cdot \|_{2)$
$L_{p}$ , unde . Acest fapt rezultă din inegalitatea lui Young , care este utilizată în derivarea inegalităților lui Hölder și Minkowski . $1<p<\infty$
spații Hilbert

Literatură

Trenogin V. A. Analiza functionala. — M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Analiza functionala / editor Crane S. G. - a 2-a, revizuita si completata. — M .: Nauka , 1972 . — 544 p. — (Bibliotecă matematică de referință).