Inegalitatea lui Young

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 iunie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Inegalitatea lui Young în matematică este o inegalitate elementară utilizată în demonstrarea inegalității lui Hölder . Este un caz special al inegalității mai generale Young-Fenchel.

Formulare

Fie și fie indicatori conjugați (adică numere astfel încât ). Apoi $a,b\geqslant 0$ $p,q >\!\ 1$ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$

ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}

Dovada

Căci sau inegalitatea este evidentă. Căci , inegalitatea rezultă din convexitatea ascendentă („convexitatea”) (această proprietate se mai numește și concavitate ) a funcției logaritmice : pentru orice , $a=0$ $b=0$ $a>0$ $b>0$ $x_{1}$ $x_2>0$

$\ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~\forall \alpha,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1$ .

Punând în această inegalitate , obținem asta $\alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a, ~ x_2 = b,$

$\ln \left({\frac {a}{p}}+{\frac {b}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln a}{p}}+{\frac {\ln b}{q))=\ln \left(a^{\frac {1}{p}}b^{\frac {1}{q}}\right)$ ,

ceea ce este echivalent cu inegalitatea lui Young.

Alternativă

Dovada ca caz special al inegalității Young-Fenchel. Pentru o funcție scalară, inegalitatea Young-Fenchel se scrie astfel:

f(x)+f^{\star }(y)\geqslant y\cdot x

unde este transformata Legendre a funcției . $f^\star(y) = \mathrm{max}_x(xy-f(x))$ $f(x)$

Dacă punem , atunci transformarea Legendre la un punct dă $f(x)=x^p/p$ $\bar y=\bar x^{p-1}$

f^\star(\bar y)=\bar x \bar y-\bar x^p/p=\bar y^q/q

unde . Înlocuind inegalitatea rezultată în inegalitatea originală, obținem rezultatul dorit. $1/q=1-1/p$

Notă

Egalitatea se realizează dacă și numai dacă . $a^p = b^q$

Inegalitatea lui Young

Formulare

Dovada

Alternativă

Notă

Vezi și