Funcția subarmonică

Funcțiile subarmonice și superarmonice sunt clase speciale de funcții care conțin atât cazuri speciale, cât și clasa de funcții armonice .

Definiție

O funcție continuă , definită în puncte ale unei regiuni de dimensiuni arbitrare a spațiului , se numește subarmonică dacă, oricare ar fi bila centrată în punctul , aparținând împreună cu granița sa regiunii , inegalitatea este adevărată , iar superarmonică dacă . [unu] $U(M)$ $M(x_{1},\;\ldots ,\;x_{k})$ $k$ $G$ $E_k$ $Q$ $M_{0}$ $G$ $U(M_{0})\leqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q))))\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\ sigma$ $U(M_{0})\geqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q))))\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\ sigma$

Proprietăți de bază

$f$ este o funcție armonică numai dacă este simultan sub- și superarmonică.
Dacă este o mulțime deschisă și ( este clasa de funcții diferențiabile de două ori continuu), atunci pentru subarmonicitate este necesar și suficient ca condițiile ( să fie operatorul Laplace ). $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ $f\in {\mathcal {C}}^{2}(G)$ ${\mathcal {C}}^{2}(G)$ $G$ $f$ $G$ $\Delta f\geqslant 0$ $\Delta$
O funcție subarmonică nu poate atinge maximul în regiunea sa de subarmonicitate (comparați cu principiul maxim pentru funcțiile analitice). Dacă totuși maximul este atins, atunci funcția este identic egală cu o constantă.

Proprietăți

Pentru orice funcție analitică definită pe o mulțime deschisă a planului complex, funcția $f(z)$ $\varphi (z)=\log |f(z)|$

este subarmonică.

Vezi și

funcţia plurisubarmonică

Note

↑ Timan A. F., Trofimov V. N. Introducere în teoria funcțiilor armonice. — M.: Nauka, 1968.

Literatură

Hayman W. , Kennedy P. Funcții subarmonice. — M.: Mir, 1980. — 304 p.
Privalov II Introducere în teoria funcţiilor unei variabile complexe. — M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1984. - 432 p.
Shabat BV Introducere în analiza complexă. În 2 volume. — M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1976. - 720 p.