Schema Bernoulli

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 16 iulie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Sunt efectuate experimente , în fiecare dintre acestea un anumit eveniment („succes”) poate avea loc cu o probabilitate (sau nu se întâmplă - „eșec” - cu o probabilitate ). Sarcina este de a găsi probabilitatea de a obține exact succese în aceste experimente. $n$ $p$ $q=1-p$ $m$ $n$

Soluţie:

P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{{nm}}

( formula Bernoulli ).

Numărul de succese este o valoare aleatorie care are o distribuție binomială .

Definiție

Pentru a aplica schema Bernoulli, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

Fiecare încercare are exact două rezultate, numite convențional succes și eșec.
Independența testelor: rezultatul următorului experiment nu ar trebui să depindă de rezultatele experimentelor anterioare.
Probabilitatea de succes ar trebui să fie constantă (fixă) pentru toate încercările.

Luați în considerare un experiment stocastic cu un spațiu cu două elemente de evenimente elementare . Să numim unul „succes”, vom desemna „1”, altul – „eșec”, vom desemna „0”. Fie probabilitatea de succes , apoi probabilitatea de eșec . $0<p<1$ $1-p=q$

Să luăm în considerare un nou experiment stocastic, care constă în repetarea în -fold a acestui cel mai simplu experiment stocastic. $n$

Este clar că spațiul evenimentelor elementare , care corespunde acestui nou experiment stocastic va fi (1), . Să luăm booleanul spațiului evenimentelor elementare (2) ca -algebra evenimentelor . Fiecărui eveniment elementar i se atribuie un număr . Dacă într-un eveniment elementar succesul este observat o dată, iar eșecul este observat o dată , atunci . Să , atunci . De asemenea, este evident că probabilitatea este normalizată: . $\Omega$ $\left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}=\overline {0,1},i=\overline {1,n}\right\rbrace$ $N(\Omega )=2^{n}$ $\sigma$ $\mathcal{A}$ $P(\Omega )$ $\omega \in \Omega$ $p(\omega )=p^{{\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}}}q^{{n-\sum _{{i=1}}^{n} a_{i}}}$ $\omega$ $k$ $(nk)$ $p(\omega )=p^{k}q^{{nk}}$ $A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}=k\},k=\overline {0,n}$ $P(A_{k})=\sum _{{\omega \in A_{k))}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk))$ $\sum _{{\omega \in \Omega }}P(\omega )=\sum _{{k=0}}^{n}\sum _{{\omega \in A_{k}}}P( \omega )=\sum _{{k=0}}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}}=(p+q)^{n}=1 ^{n}=1$

Atribuind o valoare numerică (3) fiecărui eveniment , vom găsi probabilitatea . Spațiul construit , unde este spațiul evenimentelor elementare definite de egalitate (1), este -algebra definită de egalitate (2), P este probabilitatea definită de egalitate (3), se numește schema testului Bernoulli . $A\în {\mathcal {A}}$ $P(A)=\sum _{{\omega \in A}}P(\omega )$ $P:{\mathcal {A}}\la {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),P)$ $\Omega$ $\mathcal{A}$ $\sigma$ $n$

Mulțimea numerelor se numește distribuție binomială. $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}},k=\overline {0,n},n\in {\mathbb {N}}$

Generalizare (schema polinomială)

Formula obișnuită Bernoulli se aplică în cazul în care unul dintre cele două evenimente este posibil în fiecare proces. Formula lui Bernoulli poate fi generalizată în cazul în care unul și numai unul dintre evenimente are loc cu probabilitate , unde . Probabilitatea apariției primului eveniment și - al doilea și al k-lea timp se găsește prin formula: $k>2$ $p_{i}(i=1,2,...,k)$ $p_{1}+...+p_{k}=1$ $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{k}$

P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k} !}}{p_{1}}^{{m_{1}}}{p_{2}}^{{m_{2}}}...{p_{k}}^{{m_{k}} }

Unde $n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.$

Teoreme

În condiții speciale (pentru parametri suficient de mari sau suficient de mici), pentru schema Bernoulli se folosesc formule aproximative din teoremele limită : teorema lui Poisson, teorema locală Moivre-Laplace, teorema integrală Moivre - Laplace .

Link -uri

Secvență de testare (schema Bernoulli)

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare
În cataloagele bibliografice	J9U : 987007283266105171 LCCN : sh85013374