Schemă cu diferențe împotriva curentului

O schemă de diferențe în contra -flux în fizica computațională este o clasă de metode de discretizare pentru rezolvarea ( prin scheme explicite ) a ecuațiilor diferențiale parțiale de tip hiperbolic (ecuații hiperbolice ).

De exemplu, ecuația de undă unidimensională are forma

$\qquad {\frac {\partial u}{\partial t))+a{\frac {\partial u}{\partial x)}=0$

Descrie propagarea unei unde într-o direcție cu o viteză . O astfel de ecuație este, de asemenea, un model matematic pentru advecția liniară unidimensională . Luând în considerare un punct de grilă obișnuit , în cazul unidimensional există doar două direcții posibile, stânga și dreapta. Dacă este pozitivă, atunci partea stângă se numește direcția în amonte, iar partea dreaptă se numește direcția în aval. (Dacă este negativ, atunci invers). Dacă, atunci când se utilizează diferențe finite pentru derivata spațială, aceasta conține mai multe puncte pe partea din amonte, atunci schema se numește o schemă de diferențe în amonte [1] . $X$ $A$ $i$ $A$ $A$ $\partial u/\partial x$

Prima comandă

Cel mai simplu exemplu, exemplu de ordinul întâi: [2]

\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)}{\Delta t))+a{\frac {u_{i} ^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)}{\Delta t))+a{\frac {u_{i+ 1 }^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

Formă compactă

Definire

\qquad \qquad a^{+}={\text{max))(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min))(a,0)

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\ qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n)){\Delta x))

două ecuații condiționate (1) și (2) pot fi scrise într-una:

\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+ a^{-}u_{x}^{+}\right]

O astfel de ecuație reprezintă scheme cu diferențe în amonte într-un mod general. Stabilitatea schemei cu diferențe în amonte este determinată de criteriul Courant-Friedrichs-Levy . [3]

Surse

↑ Fletcher K. Computational methods in fluid dynamics . - Springer , 1992. - ISBN 9783540530589 . (Rusă)
↑ Patankar, SV Transfer numeric de căldură și flux de fluid (nespecificat) . — Taylor & Francis , 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4 .
↑ Hirsch, C. Numerical Computation of Internal and External Flows . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 978-0-471-92452-4 .