Teorema „marginei panei” a lui Bogolyubov

Teorema „marginei panei” a lui Bogolyubov afirmă că o funcție a mai multor variabile complexe care este holomorfă în două regiuni în formă de pană cu o margine comună pe care este continuă este, de asemenea, holomorfă pe margine. Această teoremă este folosită în teoria cuantică a câmpurilor pentru a construi o continuare analitică a funcțiilor Wightman . Prima formulare și demonstrarea teoremei au fost prezentate [1] de N. N. Bogolyubov la o conferință internațională din Seattle, SUA (septembrie 1956) și publicate, de asemenea, în monografia [2](Anexa A, Teorema 1). Ulterior, alte demonstrații și generalizări ale teoremei au fost date de Jost și Lehmann (1957), Dyson (1958), Epstein (1960) și alți matematicieni [3] . Aplicații importante ale teoremei „marginea panei” sunt: ​​demonstrarea relațiilor de dispersie în teoria câmpului cuantic, teoria axiomatică a câmpurilor cuantice, teoria funcțiilor generalizate, generalizarea teoremei lui Liouville [3] .

Caz unidimensional

Pentru funcțiile unei variabile complexe, teorema „muchiei panei” poate fi formulată după cum urmează.

În acest exemplu, penele sunt semiplanurile superioare și inferioare, iar vârful lor comun este axa reală. Teorema dată poate fi demonstrată folosind teorema lui Morera .

Caz general

În general, o pană este un produs al unui con și al unui set deschis.

Fie C  un con deschis cu vârf la zero în spațiul real R n . Fie E  o mulțime deschisă în R n (punct). Definim pene și în spațiul complex C n . Penele și W' au un punct comun E , unde identificăm E cu produsul lui E și vârful conului.

Condițiile teoremei pot fi slăbite. În primul rând, nu este necesar să definiți f în întregime pe pene; este suficient să definiți f într-o apropiere a vârfului. În al doilea rând, nu este necesar să presupunem că f este definit sau continuu pe vârf, este suficient să presupunem că funcțiile generalizate date de limitele lui f din cele două pene de pe vârf sunt egale.

Aplicații în teoria câmpului cuantic

În teoria câmpului cuantic a distribuției Wightman, există valori la limită ale funcțiilor Wightman în funcție de variabilele de complexificare ale spațiului Minkowski. Ele sunt definite și holomorfe pe o pană în care partea imaginară a fiecăruia se află într-un con deschis, pozitiv, asemănător timpului. Permutările variabilelor dau diferite funcții Wightman definite pe diferite zone. Vârful este un set de puncte asemănătoare spațiului. Din teorema lui Bogolyubov reiese că toate sunt extensii analitice ale unei singure funcții holomorfe definite pe un domeniu conectat care conține toate pene. În acest caz, egalitatea valorilor limită la vârf decurge din axioma localității în teoria câmpului cuantic.

Vezi și

Aplicarea teoremei „marginea panei” în teoria cuantică a câmpurilor:

  1. Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Todorov I. T. Fundamentele abordării axiomatice în teoria câmpului cuantic. — M.: Nauka, 1969.
  2. Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Principii generale ale teoriei câmpurilor cuantice.  - Ed. a II-a. Moscova: Fizmatlit, 2006. ISBN 5922106120 .
  3. Streeter R., Wightman A.S. PCT, spin și statistici și toate astea. 1966.

Note

  1. ↑ Vladimirov V.S. Metode ale teoriei funcțiilor mai multor variabile complexe . - Moscova: Nauka, 1964. - S. 294-311.
  2. ↑ Bogolyubov N. N., Medvedev B. V., Polivanov M. K. Întrebări ale teoriei relațiilor de dispersie  (neopr.) . - Moscova: Fizmatgiz, 1958.
  3. ↑ 1 2 Teorema „marginei panei” a lui Vladimirov V. S. Bogolyubov, dezvoltarea și aplicațiile sale // Probleme de fizică teoretică. Colecție dedicată lui Nikolai Nikolaevich Bogolyubov în legătură cu cea de-a 60-a aniversare. - M., Nauka , 1969. - Tiraj 4000 exemplare. - c. 61-67