Teorema Davenport-Schmidt

În matematică , în domeniul aproximărilor diofantine , teorema Davenport–Schmidt determină cât de bine pot fi aproximate numerele reale de un tip special de un alt tip special de număr. Și anume, afirmă posibilitatea de a obține o bună aproximare a numerelor iraționale care nu sunt pătratice folosind iraționale pătratice sau doar numere raționale . Teoremă numită după Harold Davenport și Wolfgang M. Schmidt.

Teorema

Pentru un număr irațional rațional sau pătratic, există numere întregi unice și astfel încât cel puțin unul dintre ele este diferit de zero, primul dintre ele diferit de zero este pozitiv, ele sunt relativ prime și $\alfa$ $X$ $y$ $z$

x\alpha ^{2}+y\alpha +z=0.

Dacă este un număr irațional pătratic, ca , și putem lua coeficienții polinomului său minim . Dacă este rațional, vom accepta . Folosind aceste numere întregi, definite unic pentru fiecare astfel de , înălțimea este dată de formula $\alfa$ $X$ $y$ $z$ $\alfa$ $x=0$ $\alfa$ $\alfa$

H(\alpha )=\max\{|x|,\;|y|,\;|z|\}.

Teorema afirmă că pentru orice număr real care nu este nici rațional, nici irațional pătratic, există infinit de numere reale care sunt raționale sau iraționale pătratice și care satisfac inegalitatea $\xi$ $\alfa$

|\xi -\alpha |<CH(\alpha )^{-3}\max(1,\;\xi ^{2}),

unde este satisfăcător orice număr real . [unu] $C$ $C>160/9$

Deși această teoremă este legată de teorema lui Roth , utilizarea sa reală este că este eficientă în sensul că o constantă poate fi definită pentru orice dat . $C$ $\xi$

Note

↑ Davenport H., Schmidt Wolfgang M. Aproximarea la numere reale prin iraționali patratici // Acta Arithmetica 13 , (1967).

Literatură

Schmidt Wolfgang M. Aproximare diofantică // Note de curs la matematică 785. Springer. (1980 [1996 cu mici corecții])
Schmidt Wolfgang M. Aproximații diofantine și ecuații diofantine // Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.

Link -uri

Teorema Davenport-Schmidt . PlanetMath .