Polinom minim al unui element algebric

Polinomul minim în teoria câmpului este o construcție definită pentru un element algebric : un polinom care este un multiplu al tuturor polinoamelor a căror rădăcină este elementul dat.

Polinoamele minime sunt utilizate în studiul extensiilor de câmp . Având în vedere o extensie și un element algebric peste , atunci subcâmpul minim care conține și este izomorf cu inelul coeficient , unde este inelul polinoamelor cu coeficienți în , și este idealul principal generat de polinomul minim . De asemenea, conceptul de polinom minim este folosit la determinarea elementelor conjugate . $E\supsetneq K$ $\alpha \in E$ $K$ $E$ $K$ $\alfa$ $K[x]/(f(x))$ $K[x]$ $K$ $(f(x))$ $\alfa$

Definiție

Fie o extensie a câmpului , fie un element algebric peste . Se consideră o mulțime de polinoame astfel încât . Această mulțime formează un ideal în inelul polinomial . Într-adevăr, dacă , atunci , și pentru orice polinom . Acest ideal este diferit de zero, deoarece prin presupunere elementul este algebric; deoarece este domeniul idealurilor principale , acest ideal este principal, adică este generat de un polinom . Un astfel de polinom este definit până la înmulțirea cu un element inversabil al câmpului; impunând o cerință suplimentară ca coeficientul de conducere să fie egal cu unu, adică să fie un polinom redus , se obține o mapare unică la un element algebric arbitrar dintr-o extensie dată a polinomului, care se numește polinom minim . Din definiție rezultă că orice polinom minim este ireductibil în . $E\supsetneq K$ $\alpha \in E$ $K$ $f(x)\în K[x]$ $f(\alpha)=0$ $K[x]$ $f(\alpha)=0, g(\alpha)=0$ $(f+g)(\alpha)=0$ $h(x)\în K[x]$ $(f\cdot h)(\alpha)=0$ $\alfa$ $K[x]$ $f(x)$ $f(x)$ $f(x)$ $\alfa$ $\alfa$ $K[x]$

Exemple

Lasă . Atunci polinomul minim al unui număr este . Dacă luăm , atunci polinomul minim este egal cu . $K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2$ $\alfa$ $x^{2}-2$ $K={\mathbb R}$ $x-\sqrt 2$
$K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3$ . Polinomul minim este . $\alfa$ $x^4-10x^2+1$
$K=\mathbb {Q}, E=\mathbb {R},\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2)}})+{\sqrt[{3} ]{1-{\sqrt {2}}}}.$ Polinomul minim este $\alfa$ $x^{3}+3x-2.$
Analog pentru polinom este $\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))-{\sqrt[{3}] {1-{\sqrt {2)))}$ $(x^{3}-3x-2{\sqrt {2)})(x^{3}-3x+2{\sqrt {2)))=x^{6}-6x^{4 }+9x^{2}-8.$

Elemente conjugate

Elementele conjugate ale unui element algebric peste un câmp sunt toate (celelalte) rădăcini ale polinomului minim . $\alfa$ $K$ $\alfa$

Proprietăți

Fie o extensie normală cu grup de automorfism , . Atunci pentru orice - este conjugat cu , deoarece orice automorfism ia rădăcinile polinomului dat din spate la rădăcini. Dimpotrivă, orice element conjugat la are următoarea formă: aceasta înseamnă că grupul acționează tranzitiv asupra mulțimii elementelor conjugate. Prin urmare, prin ireductibilitatea polinomului minim, K este izomorf . Prin urmare, relația de conjugație este simetrică . $E\supsetneq K$ $G$ $\alpha \in E$ $g\în G$ $g(\alpha)$ $\alfa$ $K[x]$ $\beta$ $\alfa$ $G$ $K(\alpha )$ $K(\beta)$

Teorema lui Kronecker afirmă că orice număr întreg algebric astfel încât modulul său și modulul tuturor conjugatelor sale din domeniul numerelor complexe este egal cu 1 este o rădăcină a unității .

Note

Polinom minim (engleză) pe site-ul PlanetMath .
Weisstein, Eric W. Conjugate Elements la Wolfram MathWorld .
Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Seria Dover Books on Mathematics. Dover Publications, 2010, p. 270-273. — ISBN 978-0-486-47417-5