Teorema carcasei convexe a lui Carathéodory

Teorema carcasei convexe a lui Carathéodory afirmă că pentru orice punct al învelișului convex al unei submulțimi a spațiului euclidian, există un simplex nedegenerat care îl conține cu vârfuri în această submulțime.

Enunțul teoremei

Fie o mulțime compactă în spațiu euclidian -dimensional . Atunci orice punct din corpul convex este o combinație convexă a cel mult punctelor din mulțime [1] [2] . Acesta este $A$ $m$ $X$ $A$ $m+1$ $A$

\operatorname {Conv} A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}:x=\sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}x_ {i},\quad x_{i}\in A,\quad \lambda _{i}\geqslant 0,\quad \sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}=1 ,\quad i=1,\ 2,\ \dots ,\ m+1\right\}

Rezultate înrudite

În cazul în care una dintre coordonatele unui punct atinge o valoare extremă (pentru mulţimea A ), acest punct poate fi reprezentat ca o combinaţie convexă a nu mai mult de m puncte A [1] . $x\in \operatorname {Conv} A$

Teorema lui Helly [1] este, de asemenea, legată de teorema carcasei convexe a lui Carathéodory .

Corpul convex al unui set compact este compact. Această afirmație este uneori numită și teorema lui Carathéodory. [3]

Note

↑ 1 2 3 Yudin, 1974 , p. 22.
↑ Shikin E. V. Spații liniare și mapări. - M., Universitatea de Stat din Moscova , 1987. - c. 176
↑ § 1 Corpuri convexe. Lema și teorema lui Carathéodory . Data accesului: 9 decembrie 2014. Arhivat din original pe 5 martie 2016. (nedefinit)

Literatură

Yudin D. B. Metode matematice de control în condiții de informare incompletă. - M . : „Radioul sovietic”, 1974. - 400 p.