Combinație convexă

Combinația convexă este unul dintre conceptele cheie ale geometriei convexe ; o combinație liniară de puncte (care pot fi vectori , scalari sau puncte dintr- un spațiu afin ) în care toți coeficienții sunt nenegativi , iar suma lor este 1 [1] [2] .

Mai formal, dat un număr finit de puncte într-un spațiu vectorial peste un câmp care conține câmpul numerelor reale [1] , combinația convexă a acestor puncte este $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n)

unde numerele reale îndeplinesc condiţiile şi . $\alpha_i$ $\alpha _{i}\geqslant 0$ $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1$

În special, orice combinație convexă de două puncte se află pe segmentul dintre aceste puncte.

Toate combinațiile convexe de puncte se află în interiorul carcasei convexe a acestor puncte.

Există subseturi ale unui spațiu vectorial care sunt închise sub o combinație convexă, dar nu sunt închise sub una liniară. De exemplu, un interval este convex, dar combinațiile liniare de puncte din acest interval dau întreaga linie. Un alt exemplu este un set convex de distribuții de probabilitate . $[0,1]$

Alte obiecte

La fel ca o combinație convexă de vectori, o combinație convexă de distribuții de probabilitate este o sumă ponderată (unde sunt îndeplinite aceleași constrângeri ca mai sus) a distribuțiilor de probabilitate cu o densitate de probabilitate $X$ $Y_{i}$ $\alpha_i$ $f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{Y_{i}}(x)$ .

Build- uri înrudite

O combinație conică este o combinație liniară cu coeficienți nenegativi.
Mediile ponderate aritmetice sunt, din punct de vedere funcțional, aceleași cu combinația convexă, dar se utilizează o notație diferită. Coeficienții ( ponderi ) din media ponderată nu necesită ca suma ponderilor să fie egală cu unu. În schimb, combinația liniară este împărțită la suma greutăților.
Combinațiile afine sunt similare cu combinațiile convexe, dar nu este necesar ca coeficienții să fie nenegativi. Având în vedere acest lucru, combinațiile afine sunt definite pe un spațiu vectorial peste orice câmp .

Inegalități

Combinațiile convexe de numere reale se supun inegalităților simple, dar des folosite [1] .

Dacă se dă o mulțime de numere reale , atunci pentru oricare dintre combinațiile lor convexe cu coeficienți au loc estimările: $x_{1},\dots,x_{n)$ $a_{1},\dots,a_{n}\geqslant 0,a_{1}+\dots +a_{n}=1$

\min _{1\leqslant i\leqslant n}x_{i}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\leqslant \max _{1\leqslant i\leqslant n}x_{i}

Diverse inegalități clasice pot fi derivate luând în considerare funcții convexe simple , de exemplu: $f(\cdot )$

f{\Big (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}{\Big )}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{ i}f(x_{i})

unde . $a_{i}\geqslant 0,a_{1}+\dots +a_{n}=1$

Aplicarea ultimei inegalități la o funcție strict convexă duce la o inegalitate între mediile aritmetice și geometrice cu ponderi: $f(x)=-log~x$

\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\geqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i)),\ ,x_{i}\geqslant 0

Când toți sunt egali cu 1/n, ajungem la inegalitatea dintre media aritmetică și geometrică: $a_{i}$

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geqslant {\Big (}\prod _{i=1}^{n}x_{ i}{\Big )}^{1/n},\,x_{i}\geqslant 0

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 R. Horn, C. Johnson. Analiza matriceală . - M . : Mir, 1989. - S. 630 -637. - ISBN 5-03-001042-4 .
↑ E. E. Tyrtyshnikov. 13.5 Mulțimi convexe // Analiză matriceală și algebră liniară: Manual. - Moscova: Universitatea din Moscova (eBook), 2005. - P. 90.