Teorema lui Kovalevskaya

Teorema lui Kovalevskaya privind unicitatea și solubilitatea locală a problemei Cauchy pentru sistemul Kovalevskaya joacă un rol important în teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale .

Sistemul lui Kovalevskaya

Sistem de ecuații cu diferențe parțiale cu funcții necunoscute de formă $u_{1},u_{2},...,u_{N)$

{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x ,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{a}u_{j}}{\partial t^{a_{0}}\partial x_{1 }^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},...\right),

unde , , , , , adică numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, se numește sistemul Kovalevskaya . Variabila independentă se distinge prin faptul că printre derivatele de ordinul cel mai înalt ale fiecărei funcții a sistemului există o derivată de ordin și sistemul se rezolvă în raport cu aceste derivate. $x=(x_{1},...,x_{n})$ $a=a_{0}+a_{1}+...+a_{n)$ $a\leqslant n_{j)$ $a_{0}\leqslant n_{j}-1$ $i,j=1,...,N$ $t$ $n_{i}$ $t$ $n_{i}$

Se folosește următoarea notație:

D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\partial ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\ parțial x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},

unde , , . $a'=a_{0}+a_{1}+...+a_{n)$ $a_{i}\geqslant 0$ $i=1,...,N$

Formulare

Dacă toate funcțiile sunt analitice într-o vecinătate a punctului , iar funcțiile sunt definite și analitice într-o vecinătate a punctului , atunci problema Cauchy are o soluție analitică într-o vecinătate a punctului , care este unică în clasa funcțiilor analitice . $\phi _{i}^{k}(x)$ $x^{0}=(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})$ $F_{i}$ $(t^{0},x_{1}^{0},\dots,x_{n}^{0},\phi _{i}^{k}(x^{0}),\ puncte ,D^{a'}\phi _{i}^{k}(x^{0}),\puncte )$ $(t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$

Dovada

Vezi și

Teorema Cauchy-Kovalevskaya

Literatură

Vladimirov VS Ecuații ale fizicii matematice. - Moscova : „Nauka”, 1981. - S. 78-79. — 512 p.