Teorema Cauchy-Kovalevskaya

Teorema Cauchy-Kovalevskaya este o teoremă privind existența și unicitatea unei soluții locale a problemei Cauchy pentru o ecuație cu diferență parțială . Teorema Kovalevskaya este una dintre principalele și cel mai frecvent utilizate teoreme în teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale: teorema lui Holmgren privind unicitatea soluției problemei Cauchy, teoreme de existență pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuații hiperbolice, teoria lui Solvabilitatea ecuațiilor liniare folosește teorema Kovalevskaya.

Formulare

Să luăm în considerare spațiul . Un punct din spațiu va fi notat cu , iar un punct aparținând lui , cu . Se notează operatorul de diferențiere parțială $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $(x,t)=(x_{{1}},...,x_{{n}},t)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x=(x_{{1}},...,x_{{n}})$

L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{ \nu ,j}(x,t)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j }.

Să presupunem că coeficienții operatorului sunt definiți în vecinătatea originii în spațiul variabilelor și sunt funcții analitice . Fie ca funcția să fie și analitică în . Fie vectorul datelor inițiale să fie analitic într-o vecinătate a originii , adică spațiu. Apoi există o vecinătate a originii și o funcție analitică unică definită în care $L$ $U$ $(x,t)$ $f$ $U$ $\psi$ $X$ $W$ $u(x, t)$ $W$

Lu=f,(x,t){\mathcal {2}}W,\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=u_{ j}(x),x{\mathcal {2}}W\cap {\mathcal {f}}t=0{\mathcal {g}}\qquad (j=0,1,2,...,m -1).\qquad(1)

Dovada

Sa punem

{\tilde {u}}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {t^{j}}{j! }}u_{j}(x).

Apoi rezultă din $(unu)$

L[{\tilde {u}}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L\left[{\frac {t^{j}}{j!)}} u_ {j}(x)\dreapta].

Prin urmare, fără pierderea generalității, putem presupune că datele inițiale pentru sunt egale cu zero. Să rescriem în formă $u(x, t)$ $(unu)$

\left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}u(x,t)=\sum _{j=0}^{m-1}\alpha _{j} (x,t;{\frac {d}{dx}})\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,t)+f(x,t), \qquad(2)

unde este un polinom în grad ai cărui coeficienți sunt analitici într-o vecinătate a originii. Este ușor de observat că coeficienții expansiunii seriei Taylor ${\alpha }_{{j))(x,t;{\xi })$ $\xi$ $mj$ $U$ $c_{{\nu ,j}}$

u(x,t)=\sum _{j\geqslant m;\nu }c_{\nu ,j}x^{\nu }t^{j}\qquad (3)

sunt determinate în mod unic de ecuație și de condițiile inițiale. În continuare, demonstrăm convergența seriei . $(2)$ $(3)$

Serii majorante și polinoamele sunt folosite pentru a demonstra convergența seriei . O funcție se numește serie majorantă pentru la origine dacă este analitică în acest punct și coeficienții expansiunii Taylor sunt mai mari sau egali cu valorile absolute ale coeficienților corespunzători expansiunii Taylor a funcției , adică , . $(3)$ $F(x,t)$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}$ $c_{{\mu ,j}}$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}\geqslant |c_{{\mu ,j}}|$

Istorie

Teorema a fost prezentată de S.V. Kovalevskaya la Universitatea din Göttingen împreună cu alte două lucrări ca teză de doctorat în 1874.

Vezi și

Literatură

S. Mizohata Teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale, Moscova, Mir, 1977, 504 pagini.
O.A. Teorema Oleinik S.V. Kovalevskaya și teoria modernă a ecuațiilor cu diferențe parțiale // Soros Educational Journal , 1997, nr. 8, p. 117