Teorema Cauchy-Poincaré

Teorema Cauchy–Poincaré este o generalizare a teoremei integrale Cauchy la cazul unui spațiu complex multidimensional . A fost dovedit de A. Poincaré în 1886.

Formulare

Fie o varietate complexă de dimensiune (complexă) și o formă de grad holomorf pe această varietate. Atunci integrala peste limita oricărui lanț dimensional este egală cu zero : $M$ $n$ $\omega$ $n$ $\omega$ $(n+1)$ $\sigma \subset M$ $\int \limits _{d\sigma}\omega =0$

Dovada

În coordonatele locale care acționează în vecinătatea , forma holomorfă are forma: , unde este o funcție holomorfă în . Deoarece și este holomorf , prin urmare ; prin proprietățile produsului exterior, obținem așadar că , adică că forma este închisă. În virtutea formulei Stokes, integrala formei închise peste graniță este egală cu zero: . Prin urmare, concluzionăm că integrala este zero. $(z,{\bar {z))}$ $U\subset M$ $\omega =f(z)dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n)$ $f$ $U$ ${\bar {\partial }}f=0$ $df=\partial f=\sum _{\mu =1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{\mu ))}dz_{\mu )$ $d\omega =df\wedge dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}=0$ $\omega$ $\omega (d\omega =0)$ $\sigma =\partial \sigma ^{'}$ $\int \limits _{\sigma }\omega =\int \limits _{\partial \sigma ^{'}}d\omega =0$ $\int \limits _{d\sigma}\omega =0$

Literatură

B. V. Shabat Introducere în analiza complexă, partea a II-a, Funcțiile mai multor variabile, M., Nauka, 1985