Teorema lui Laplace

Teorema lui Laplace este una dintre teoremele algebrei liniare . Este numit după matematicianul francez Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), căruia i se atribuie formularea acestei teoreme în 1772 [1] , deși un caz special al acestei teoreme privind expansiunea determinantului într-un rând (coloană) a fost cunoscut chiar de Leibniz .

Formulare

Mai întâi, să introducem câteva definiții.

Fie o matrice de dimensiune și fie alese orice rânduri ale matricei cu numere și orice coloană cu numere . $A=(a_{{ij}})$ $n\ ori n$ $k$ $A$ $i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k)$ $k$ $j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k)$

Determinantul matricei obținute din ștergerea tuturor rândurilor și coloanelor, cu excepția celor selectate, se numește minorul de ordinul --lea, situat în rânduri cu numere și coloane cu numere . Se notează după cum urmează: $A$ $k$ $i_{1},i_{2},\ldots,i_{k)$ $j_{1},j_{2},\ldots,j_{k)$

M_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{ 1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_ {1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.

Iar determinantul matricei obținut prin ștergerea doar a rândurilor și coloanelor selectate din matricea pătrată se numește minor suplimentar la minor : $M_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}}$

{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots,i_{k}}=\det {\begin {pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_ {n}}\end{pmatrix}},

unde și sunt numărul de rânduri și coloane neselectate. $i_{k+1}<\ldots <i_{n)$ $j_{k+1}<\ldots <j_{n)$

Complementul algebric al unui minor este definit după cum urmează: $M_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}}$

A_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M} }_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}

unde , . $p=i_{1}+\ldots +i_{k)$ $q=j_{1}+\ldots +j_{k)$

Următoarea afirmație este adevărată.

teorema lui Laplace

Să fie alese orice rânduri ale matricei . Atunci determinantul matricei este egal cu suma tuturor produselor posibile ale minorilor de ordinul al treilea situate în aceste rânduri și a complementelor lor algebrice.

k

A

A

k

\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_ {k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},

unde însumarea se efectuează pe toate numerele de coloane posibile

j_{1},\ldots ,j_{k}.

Numărul de minore peste care se ia suma în teorema lui Laplace este egal cu numărul de moduri de a alege coloane din , adică coeficientul binom . $k$ $n$ $\textstyle {n \alege k)$

Deoarece rândurile și coloanele unei matrice sunt echivalente în ceea ce privește proprietățile determinantului, teorema lui Laplace poate fi formulată și pentru coloanele unei matrice.

Exemple

Luați în considerare o matrice pătrată

A={\begin{bmatrix}5&9&1&3\\3&5&0&0\\67&932&1&2\\1&7&0&0\end{bmatrix)).

Alegem al doilea și al patrulea rând și extindem determinantul acestei matrice folosind teorema lui Laplace. Rețineți că în aceste rânduri toate minorii de ordinul doi, cu excepția , conțin zero coloane, adică sunt cunoscute a fi zero și nu afectează suma din teoremă. Deci determinantul va fi: ${\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}$

|A|=(-1)^{2+4+1+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\ 1&2\end{vmatrix}}=(-1)\cdot 16\cdot (-1)=16

Din exemplul de mai sus, se poate observa că teorema lui Laplace simplifică calculul determinanților nu tuturor matricelor, ci doar matricelor de formă specială. Prin urmare, în practică, alte metode sunt mai des utilizate, de exemplu, metoda Gaussiană . Teorema se aplică mai mult studiilor teoretice.

Rând (coloană) extindere a determinantului (Corolarul 1)

Un caz special al teoremei lui Laplace este larg cunoscut - extinderea determinantului într-un rând sau coloană. Vă permite să reprezentați determinantul unei matrice pătrate ca suma produselor elementelor oricăreia dintre rândurile sau coloanele sale și complementele lor algebrice .

Fie o matrice pătrată de dimensiune . Să fie dat și un număr de rând sau de coloană al matricei . Apoi determinantul poate fi calculat folosind următoarele formule: $A=(a_{ij})$ $n\ ori n$ $i$ $j$ $A$ $A$

Descompunerea pe linia -a $i$ :

\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}

Descompunerea după a- a coloană $j$ :

\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij)

unde este complementul algebric la minorul situat în rândul cu numărul și coloana cu numărul . numit și complement algebric element . $A_{{ij}}$ $i$ $j$ $A_{{ij}}$ $a_{{ij}}$

Afirmația este un caz special al teoremei lui Laplace. Este suficient să-l setați egal cu 1 și să selectați rândul --lea, apoi minorii aflați în acest rând vor fi elementele în sine. $k$ $i$

Exemple

Luați în considerare o matrice pătrată

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.

Să extindem determinantul cu elementele primului rând al matricei:

|A|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.

(Rețineți că complementul algebric al celui de-al doilea element al primului rând are un semn negativ.)

De asemenea, determinantul poate fi extins, de exemplu, prin elementele coloanei a doua:

|A|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\ cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.

Corolarul 2 (falsă expansiune a determinantului)

Suma produselor tuturor elementelor unui rând (coloană) al matricei și a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare din orice alt rând (coloană) este egală cu zero. $A$

Dovada

Luați în considerare suma produselor tuturor elementelor unui --lea rând arbitrar al matricei și complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale oricărui alt rând, de exemplu --lea al matricei . Fie o matrice în care toate rândurile, cu excepția rândului --lea, sunt aceleași cu cele ale matricei , iar elementele rândului --lea al matricei sunt elementele corespunzătoare ale --lea rând al matricei . Atunci matricea are două rânduri identice și, prin urmare, prin proprietatea matricei despre rânduri identice, avem că . Pe de altă parte, după Corolarul 1, determinantul este egal cu suma produselor tuturor elementelor din rândul i al matricei și a complementelor lor algebrice. Rețineți că complementele algebrice ale elementelor din rândul --lea al matricei coincid cu complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare din --lea rând al matricei . Dar elementele din rândul --lea al matricei sunt elementele corespunzătoare ale --lea rând al matricei . Astfel, suma produselor tuturor elementelor din rândul --lea al matricei și a complementelor lor algebrice, pe de o parte, este egală cu zero și, pe de altă parte, este egală cu suma produselor tuturor elemente din rândul --lea al matricei și complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale --lea rând al matricei . $k$ $A$ $i$ $A$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $A'$ $\det A'=0$ $\det A'$ $i$ $A'$ $i$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A$

Note

^ Smith, DE Proiect Gutenberg's History of Modern Mathematics . — P. 18. Arhivat 16 septembrie 2009 la Wayback Machine

Literatură

Ilyin, V. A. , Poznyak, E. G. Algebra liniară . - Ed. a VI-a. - M . : Fizmatlit, 2005. - S. 25 -27. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Prasolov, VV Probleme și teoreme ale algebrei liniare . - Ed. a II-a. - M. , 2008. - S. 42-45.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. — M .: Fizmatlit , 2009. — S. 374-376.