Teorema de convergență dominată a lui Lebesgue

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 6 decembrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Teorema Lebesgue privind convergența dominată în analiza funcțională , teoria probabilității și disciplinele conexe este o teoremă care afirmă că, dacă o succesiune de funcții măsurabile convergente aproape peste tot poate fi mărginită în valoare absolută de o funcție integrabilă de sus, atunci toți membrii șirului, ca precum și funcția limită, sunt de asemenea integrabile. Mai mult, integrala șirului converge către integrala limitei sale.

Formulare

Să fie fix un spațiu cu măsură . Să presupunem că și sunt funcții măsurabile pe , în plus, aproape peste tot . Atunci, dacă există o funcție integrabilă definită pe același spațiu astfel încât aproape peste tot, atunci funcțiile sunt integrabile și $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f_n$ $X$ $f_{n}(x)\la f(x)$ $g$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ $f_{n},\;f$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\ ,\mu(dx).

Notă

Condiția ca o secvență să fie majorată de o funcție integrabilă este fundamentală și nu poate fi omisă, așa cum arată următorul contraexemplu. Fie , unde să fie o algebră Borel pe , și să fie măsura Lebesgue pe același spațiu. Să definim $\{f_{n}\}$ $g$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B)),\;m)$ ${\mathcal {B}}$ $\sigma$ $[0,\;1]$ $m$

f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}

Atunci succesiunea nu poate fi majorată printr-o funcție integrabilă și $\{f_{n}\}$

\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _ {{n\to \infty }}\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).

Aplicație la teoria probabilității

Deoarece așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este definită ca integrala sa Lebesgue în spațiul rezultatelor elementare , teorema de mai sus este transferată în teoria probabilității . Să existe o secvență de variabile aleatoare care converg aproape peste tot : aproape peste tot. Să existe, în plus, o variabilă aleatoare integrabilă astfel încât aproape sigur. Atunci variabilele aleatoare sunt integrabile și $\Omega$ $X_{n}\la X$ $Y$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ $X_{n},\;X$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}X_{n}={\mathbb {E}}X.

Variații și generalizări

Lebesgue