Măsura Lebesgue

Măsura Lebesgue este o măsură care generalizează conceptele de lungime a unui segment , aria unei figuri și volumul unui corp într-un spațiu euclidian de dimensiuni arbitrare . Mai formal, măsura Lebesgue este o extindere a măsurii Jordan la o clasă mai largă de seturi [1] . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

În special, măsura Lebesgue a unui segment de pe dreapta reală este egală cu lungimea sa, măsura Lebesgue a unui poligon pe plan este egală cu aria sa.

A fost introdus de matematicianul francez Henri Lebesgue în 1902 în lucrarea sa de disertație.

Construcție pe linie dreaptă

Măsura externă

Pentru o submulțime arbitrară a dreptei reale, se pot găsi în mod arbitrar multe sisteme diferite dintr-un număr finit sau numărabil de intervale, a căror unire conține mulțimea . Numim astfel de sisteme acoperiri . Deoarece suma lungimilor intervalelor care alcătuiesc orice acoperire este o valoare nenegativă, este mărginită de jos și, prin urmare, mulțimea lungimii tuturor învelișurilor are un infim . Această față, în funcție doar de set , se numește măsura exterioară : $E$ $E$ $E$

m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.

Opțiuni pentru desemnarea unei măsuri externe:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.

Măsura exterioară a oricărui interval coincide cu lungimea acestuia, care este o consecință a aditivității numărabile a măsurii Lebesgue asupra semicercului de intervale, segmente și semiintervale. Pentru a fi mai precis, această aditivitate numărabilă dă , în timp ce inegalitatea opusă este într-adevăr evidentă și decurge direct din definiția măsurii exterioare. Mai mult, se poate da un exemplu de măsură pe o algebră, astfel încât măsura exterioară a unei mulțimi din această algebră să fie strict mai mică decât măsura inițială. $m(a,b)\leqslant m^{*}(a,b)$

Proprietăți de măsură exterioară

(monoton) $E_{1}\subseteq E_{2}\Rightarrow m^{*}E_{1}\leqslant m^{*}E_{2}.$
(semi-aditivitate numărabilă) $E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\Rightarrow m^{*}E\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }m^{*} E_{k}.$
$\forall E,\\varepsilon >0\\exists G\supseteq E\colon m^{*}G\leqslant m^{*}E+\varepsilon$ , unde este un set deschis . Într-adevăr, este suficient să luăm ca sumă a intervalelor care alcătuiesc acoperirea , astfel încât . Existența unei astfel de acoperiri rezultă din definiția limitei inferioare. $G$ $G$ $E$ $\textstyle \sum _{i}\Delta _{i}\leqslant m^{*}E+\varepsilon$

Măsura internă

Dacă mulțimea este mărginită, atunci măsura interioară a mulțimii este diferența dintre lungimea segmentului care o conține și măsura exterioară a complementului în : $E$ $E$ $[a,\;b]$ $E$ $E$ $[a,\;b]$

m_*E=(ba)-m^*([a,\;b]\setminus E).

Pentru mulțimile nemărginite, este definită ca cea mai mică limită superioară peste toate segmentele . $m_*E$ $(ba)-m^*([a,\;b]\setminus E)$ $[a,\;b]$

Seturi măsurabile

O mulțime se numește Lebesgue măsurabilă dacă măsurile sale exterioare și interioare sunt egale. Apoi valoarea totală a acestuia din urmă se numește măsura Lebesgue a mulțimii și este notă cu , , , sau . $mE$ $\mu E$ $|E|$ $\lambda(E)$ $\operatorname {mes} E$

Un exemplu de set nemăsurabil

Un exemplu de set incomensurabil de Lebesgue a fost construit de J. Vitali în 1905. Se consideră următoarea relaţie de echivalenţă pe interval : dacă diferenţa este raţională . În plus, din fiecare clasă de echivalență alegem un reprezentant - un punct (aici folosim axioma alegerii ). Apoi, setul de reprezentanți rezultat va fi de nemăsurat. $\sim$ $[0, 1]$ $x\sim y$ $xy$ $E$

Într-adevăr, dacă deplasăm un număr numărabil de ori cu toate numerele raționale din intervalul , atunci uniunea va conține întregul segment , dar în același timp va fi conținută în segmentul . În acest caz, „copiile deplasate” ale setului nu se vor intersecta unele cu altele, ceea ce decurge direct din construcția și . $E$ $[-1,1]$ $[0, 1]$ $[-1,2]$ $E$ $\sim$ $E$

Prin urmare, ținând cont de aditivitatea numărabilă a măsurii Lebesgue,

1=\mu {\big (}[0;1]{\big )}\leqslant \mu {\bigg (}\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}{\ bigg )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})\leqslant \mu {\big (}[-1;2]{\big )}=3.

Cu toate acestea, dacă mulțimea construită este măsurabilă, acest lucru este imposibil: totul se datorează proprietății de invarianță a măsurii Lebesgue (măsura mulțimii nu se schimbă cu o schimbare) și, prin urmare, suma seriei $E$ $\mu (E_{n})=\mu (E)$

\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})

fie infinit (dacă ) fie egal cu zero (dacă ); Nu există a treia. $\mu (E)>0$ $\mu (E)=0$

În ambele cazuri obținem o contradicție și, prin urmare, mulțimea este nemăsurabilă; adică funcția de măsură nu se aplică. $E$ $E$

Rețineți că construcția acestuia, precum și orice alt exemplu de mulțime nemăsurabilă pe un segment, ar fi imposibilă fără acceptarea axiomei alegerii (ar fi imposibil să alegeți un reprezentant în fiecare clasă de echivalență).

Proprietăți

Măsura Lebesgue îndeplinește următoarele două condiții:
- Măsura unui cub unitar este egală cu unu.
- Măsurile mulțimilor congruente sunt egale între ele.

În plus

Seturile măsurabile formează o clasă maximă (prin includere) de mulțimi în care aceste două condiții definesc o singură măsură.

Istorie

În prelegerile sale despre integrare și căutarea funcțiilor primitive (1904), Henri Lebesgue a afirmat că scopul său era să găsească o măsură (nenegativă) pe dreapta reală care să existe pentru toate mulțimile mărginite și să satisfacă trei condiții:

Mulțimile congruente au măsură egală (adică măsura este invariantă sub translație și simetrii).
Măsura este numărabilă aditivă .
Măsura intervalului (0, 1) este 1.

Construcția lui Lebesgue a acoperit o clasă vastă de mulțimi de numere reale și a definit un set de funcții măsurabile , mai larg decât setul de funcții analitice . Mai mult, orice funcție măsurabilă a permis utilizarea multor metode analitice. În acest moment, exista deja o teorie generală a măsurii dezvoltată de E. Borel (1898), iar primele lucrări ale lui Lebesgue se bazau pe teoria Borel. Cu toate acestea, în disertația lui Lebesgue (1902), teoria măsurii a fost generalizată în esență la „măsura Lebesgue”. Lebesgue a definit conceptele de funcții măsurabile mărginite și integrale pentru acestea, a demonstrat că toate funcțiile mărginite „obișnuite” studiate în analiză sunt măsurabile și că clasa funcțiilor măsurabile este închisă sub operațiuni analitice de bază, inclusiv operația de trecere la limită . În 1904, Lebesgue și-a generalizat teoria eliminând condiția de mărginire pentru o funcție.

Chiar în anul următor (1905) J. Vitali a arătat că o măsură care îndeplinește cele trei condiții de mai sus nu acoperă toate mulțimile reale mărginite: el a construit o mulțime care nu are o măsură cu proprietățile indicate. Mai mult, în 1914, Hausdorff a demonstrat că, chiar dacă înlocuim cerința aditivității numărabile cu o condiție mai slabă a aditivității finite, încă găsim mulțimi nemăsurabile mărginite în spațiul tridimensional. Pentru o linie dreaptă, așa cum a descoperit Banach în 1923, există o măsură universală finită aditivă și nici măcar nu este unică [2] .

Cercetările lui Lebesgue au găsit un răspuns științific larg, au fost continuate și dezvoltate de mulți matematicieni: E. Borel , M. Ries , J. Vitali , M. R. Fréchet , N. N. Luzin , D. F. Egorov ș.a. Conceptul de convergență a fost introdus după măsură ( 1909).

Lucrările lui Lebesgue au avut o altă semnificație conceptuală importantă: s-au bazat complet pe teoria mulțimilor a lui Cantor , care a fost controversată în acei ani , iar productivitatea teoriei lui Lebesgue a servit ca un argument puternic pentru acceptarea teoriei mulțimilor ca fundament al matematicii.

Vezi și

Literatură

Brylevskaya L. I. Despre istoria problemei măsurării în prima jumătate a secolului al XX-lea // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1986. - Nr. 30 . - S. 97-112 .
Vulikh BZ Un scurt curs în teoria funcțiilor unei variabile reale (introducere în teoria integralei). — M .: Nauka, 1973. — 352 p.
Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. — M. : LKI, 2007. — 258 p. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .

Note

↑ Măsură // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3. - S. 636-645. — 1184 p.
↑ Brylevskaya L.I., 1986 , p. 100.

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale