Teorema expansiunii de măsurare a lui Lebesgue

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare . Definiții introductive

Fie o funcție monotonă nedescrescătoare , continuă stânga [1] și astfel încât . Să introducem o măsură pe semiinelul tuturor intervalelor formei după următoarea regulă: . Această măsură poate fi extinsă la algebra sigma Borel . În acest caz, măsurile golurilor cu capete se vor preciza după cum urmează. $F$ $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty$ $[a,\;b)$ $m$ $m[a,\;b)=F(b)-F(a)$ $a,\;b$

m[a,\;b)=F(b)-F(a)

m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)

m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)

m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)

Aici , este limita din dreapta a funcției în punct (există deoarece funcția este nedescrescătoare). $F(a+0)$ $F(x)$ $A$ $F(x)$

Măsura poate fi extinsă la subseturi ale dreptei numerice Lebesgue. În acest caz, se dovedește - măsura Stieltjes . $m$ $\mu _{F}$

Cazuri speciale ale funcției generatoare : $F$

$F$ este funcția de salt. Saltul este întotdeauna pozitiv, setul este format dintr-un număr finit sau numărabil de puncte (scalari). $A$

$\mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$ este o măsură discretă.

Funcția F este continuă, nu scade monoton pe , pe . $[a,\;b]$ $(a,\;b)$ $F'(x)=f(x)$

$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$ este o măsură absolut continuă.

$F$ - o funcție singulară (de exemplu, scara lui Cantor , unde incrementul este 1 pe întregul segment, dar aproape peste tot ). Măsura este concentrată la punctele de creștere ale funcției. $F$ $const$

Măsură teorema de descompunere

Orice măsură Lebesgue-Stieltjes poate fi reprezentată ca suma a trei măsuri - discretă, absolut continuă și singulară.

Note

↑ Turilova E. A., Kareev I. A. Elemente de teoria măsurii și integrala Lebesgue. - Kazan: Universitatea Federală Kazan, 2016. - p. 29.