Funcția monotonă

O funcție monotonă este o funcție a unei variabile, definită pe un anumit submulțime de numere reale, care fie nu scade peste tot (în domeniul său de definire) fie nu crește peste tot. Mai exact, este o funcție a cărei increment la nu își schimbă semnul, adică este fie întotdeauna nenegativă, fie întotdeauna nepozitivă [1] . Dacă, în plus, incrementul nu este egal cu zero, atunci funcția se numește strict monotonă . $f$ $\Delta f=f(x')-f(x)$ $\Delta x=(x'-x)>0$ $\Delta f$

O funcție se numește crescătoare dacă valoarea mai mare a argumentului nu corespunde unei valori mai mici (în altă terminologie, mai mult) a funcției. O funcție se numește descrescătoare dacă valoarea mai mare a argumentului nu corespunde unei valori mai mari (în altă terminologie, mai mică) a funcției.

Definiții

Fie dată o funcție Atunci $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$

o functie se numeste crescand cu daca $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)

o funcţie se numeşte strict crescătoare pe dacă $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y)

o functie se numeste descrescatoare cu daca $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)

o funcţie se numeşte strict descrescătoare pe dacă $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y)

Se spune că o funcție (strict) crescătoare sau descrescătoare este (strict) monotonă.

Altă terminologie

Uneori, termenii funcție crescătoare ( descrescătoare ) înseamnă o funcție strict crescătoare (descrescătoare) . Atunci se spune că o funcție non-strict crescătoare (descrescătoare) este nedescrescătoare ( necrescătoare ) [2] :

O funcție se numește crescătoare pe un anumit interval dacă pentru oricare două puncte și acest interval, astfel încât , . Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})<f(x_{2})$
O funcție se numește descrescătoare pe un anumit interval dacă pentru oricare două puncte și acest interval, astfel încât , . Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})>f(x_{2})$
O funcție se numește nedescrescătoare pe un anumit interval dacă pentru oricare două puncte și acest interval, astfel încât , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\leq f(x_{2})$
O funcție se numește necrescătoare pe un anumit interval dacă pentru oricare două puncte și acest interval, cum ar fi , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\geq f(x_{2})$
Funcțiile crescătoare și descrescătoare se numesc strict monotone , funcții nedescrescătoare și necrescătoare - monotone .

Proprietăți ale funcțiilor monotone

O funcție monotonă definită pe interval este măsurabilă în raport cu sigma-algebrele Borel .
O funcție monotonă definită pe un interval închis este mărginită . În special, este integrabil Lebesgue . $f:[a,b]\la \mathbb{R} ,$
O funcţie monotonă nu poate avea decât discontinuităţi de primul fel . În special, setul de puncte de discontinuitate este cel mult numărabil .
O funcție monotonă este diferențiabilă aproape peste tot în raport cu măsura Lebesgue . $f:(a,b)\la \mathbb{R}$

Condiții pentru monotonitatea unei funcții

(Un criteriu pentru monotonitatea unei funcții care are o derivată pe un interval) Fie ca funcția să fie continuă și să aibă o derivată în fiecare punct Atunci $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a,b),$ $x\in(a,b)$ $f'(x).$ $f$ nu scade pe dacă și numai dacă $(a,b)$ $\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$ $f$ nu crește pe dacă și numai dacă $(a,b)$ $\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.$
(O condiție suficientă pentru monotonitatea strictă a unei funcții care are o derivată pe un interval) Fie ca funcția să fie continuă și să aibă o derivată în fiecare punct Atunci $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a,b),$ $x\in(a,b)$ $f'(x).$ dacă apoi crește strict cu $\forall x\in (a,b)\;f'(x)>0,$ $f$ $(a,b);$ dacă atunci scade strict cu $\forall x\in (a,b)\;f'(x)<0,$ $f$ $(a,b).$

În general, invers nu este adevărat. Derivata unei funcții strict monotone poate dispărea . Totuși, mulțimea de puncte în care derivata nu este egală cu zero trebuie să fie densă pe intervalul .Mai precis, avem $(a,b).$

(Un criteriu pentru monotonitatea strictă a unei funcții care are o derivată pe un interval) Fie și peste tot pe interval derivata este definită Atunci ea crește strict pe interval dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții: $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )},$ $f'(x).$ $f$ $(a,b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$
$\forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)>0.$

În mod similar, scade strict pe un interval dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții: $f$ $(a,b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;$
$\forall (c,d)\subset (a,b)\;\există x\in (c,d)\;f'(x)<0.$

Exemple

Funcția crește strict pe întreaga dreaptă numerică , în ciuda faptului că punctul este staționar , adică in acest moment . $f(x)=x^{3}$ $x=0$ $f'(x)=0$
Funcția crește strict nu numai pe un interval deschis , ci și pe un interval închis . $f(x)=\sin x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $[-\pi /2;\pi /2]$
Exponentul crește strict pe întreaga dreaptă numerică . $f(x)=e^{x}$
O constantă nu crește și nici nu scade simultan pe întreaga dreaptă numerică. $f(x)\equiv a,\;a\in {\mathbb {R}}$
Scara Cantor este un exemplu de funcție monotonă continuă care nu este o constantă, dar are o derivată care este zero în aproape toate punctele.
Funcția Minkowski este un exemplu de funcție singulară strict crescătoare.

Variații și generalizări

Se spune că o mapare între spații topologice este monotonă dacă fiecare punct are o imagine inversă conectată . [3] $f\coloan X\la Y$ $y\în Y$ $f^{{-1}}(y)$

Note

↑ Funcția monotonă / Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 4. Continuitatea funcției // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 146. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Collins, PJ (1971). Mapări concordante și factorizarea concordant-disonantă a unei funcții continue arbitrare. Proceedings of the American Mathematical Society, 27(3), 587-591.