Teorema lui Miquel

Teorema lui Miquel este o afirmație în planimetrie legată de intersecția a trei cercuri construite în jurul vârfurilor unui triunghi. Numit după matematicianul francez Auguste Miquel [1] . Această teoremă este unul dintre câteva rezultate referitoare la cercuri în geometrie, obținute de Michele și publicate de el în Journal de mathématiques pures et appliquées .

Formulare

Fie un triunghi cu puncte arbitrare , și , respectiv, pe laturile , și (sau pe extensiile lor). Descriem trei cercuri în jurul triunghiurilor , , iar teorema lui Miquel afirmă că aceste trei cercuri se vor intersecta într-un punct , numit punctul lui Miquel . În plus, trei unghiuri vor fi egale între ele (marcate în figură). [2] [3] $ABC$ $A'$ $B'$ $C'$ $BC$ $AC$ $AB$ $AB'C'$ $A'BC'$ $A'B'C.$ $M$ $\angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A$

Caz special

Dacă punctul lui Mikel este centrul cercului circumscris triunghiului, iar diametrele celor trei cercuri ale lui Mikel sunt egale cu raza cercului circumscris triunghiului, iar fiecare dintre cele trei cercuri ale lui Mikel trece printr-un punct comun pentru ele - centrul cerc circumscris și, de asemenea, prin două proiecții ale acestui centru pe laturile triunghiului și printr-unul dintre cele trei vârfuri, atunci razele celor trei cercuri Miquel sunt aceleași.

Vezi și

Punctul lui Mikel - un alt rezultat Mikel

Note

↑ Ostermann & Wanner (2012) , p. 94.
^ Miquel, Auguste (1838), Mémoire de Géométrie , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées vol. 1: 485–487 , < http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3 > Arhivat 13 februarie anul 2013.
↑ Wells, 1991 , p. 184 - Wells se referă la teorema lui Miquel ca la teorema pivotului

Literatură

Coxeter, HSM & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited , voi. 19, New Mathematical Library , Washington, DC : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, H.G. (1960), Geometrie , Londra: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometria după istoria sa , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometry/A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Modern Geometries (ed. a 5-a), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6