Teorema geodezică a lui Usov

Teorema geodezică a lui Usov oferă o estimare exactă a variației de rotație a unei geodezice pe graficul unei funcții Lipschitz convexe.

Dovedit de Vladimir Usov. [1] Dovada folosește lema lui Lieberman .

Formulare

Să fie un grafic al unei funcții Lipschitz convexe și o geodezică pe . Atunci variația de rotație nu depășește , unde este constanta Lipschitz . $\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ $\gamma$ $\Sigma$ $\gamma$ $2\cdot L$ $L$ $f$

Note

Această estimare este realizată, de exemplu, pentru con . De asemenea, este posibil să neteziți funcția în jurul zero, obținând astfel un exemplu neted cu egalitate. $f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2)})$

Variații și generalizări

Variația de rotație a subgrafului geodezic al unei funcții arbitrare -Lipschitz nu depășește . [2] $L$ $2\cdot L$
Variația de rotație a celei mai scurte curbe pe o suprafață convexă închisă este delimitată de o constantă universală. [3]

Note

↑ V. V. Usov. „Pe lungimea unei imagini sferice a unei geodezice pe o suprafață convexă”. Jurnalul siberian de matematică 17.1 (1976), p. 233-236
↑ ID Berg. „O estimare a curburii totale a unei geodezice în spațiul euclidian 3 cu graniță.” Geom. Dedicata 13 (1982), pp. 1–6.
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. Despre curbura totală a geodezicilor de minimizare pe suprafețe convexe // Algebra i Analiz. - 2017. - T. 29 , Nr. 1 . — S. 189–208 . (Rusă)