Teorema Frobenius-Perron

Teorema Frobenius-Perron este o teoremă privind cea mai mare valoare proprie a unei matrice pătrate reale cu componente pozitive. Această teoremă are numeroase aplicații în teoria probabilității (ergodicitatea lanțurilor Markov); în teoria sistemelor dinamice; în economie; în demografie; în rețelele sociale; în motoarele de căutare.

Dovedit de Oscar Perron (1907) și independent de Georg Frobenius (1912). Ideea de a folosi această teoremă pentru a determina ordinea jucătorilor în turnee i se datorează lui Edmund Landau .

Formulare

Fie o matrice pătrată , cu elemente reale strict pozitive, atunci următoarele afirmații sunt adevărate: $A$

cea mai mare valoare proprie în valoare absolută este reală și strict pozitivă; $r$
această valoare proprie este o rădăcină simplă a polinomului caracteristic ;
vectorul propriu corespunzător are (mai precis, poate fi ales în așa fel încât să aibă) coordonate strict pozitive, toți ceilalți vectori proprii nu au această proprietate; $r$
valoarea proprie satisface inegalitățile $r$

\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.

Vezi și

Operator Perron-Frobenius

Literatură

Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices , Mathematische Annalen T. 64 (2): 248–263 , DOI 10.1007/BF01449896
Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 456–477
Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 471–476
Frobenius, Georg (1909), Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 514–518
Gantmakher F. R. Teoria Matricilor, - M .: Nauka 1966, 576s.