Teorema Frobenius-Perron
Teorema Frobenius-Perron este o teoremă privind cea mai mare valoare proprie a unei matrice pătrate reale cu componente pozitive. Această teoremă are numeroase aplicații în teoria probabilității (ergodicitatea lanțurilor Markov); în teoria sistemelor dinamice; în economie; în demografie; în rețelele sociale; în motoarele de căutare.
Dovedit de Oscar Perron (1907) și independent de Georg Frobenius (1912). Ideea de a folosi această teoremă pentru a determina ordinea jucătorilor în turnee i se datorează lui Edmund Landau .
Formulare
Fie o matrice pătrată , cu elemente reale strict pozitive, atunci următoarele afirmații sunt adevărate:
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
- cea mai mare valoare proprie în valoare absolută este reală și strict pozitivă;
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
- această valoare proprie este o rădăcină simplă a polinomului caracteristic ;
- vectorul propriu corespunzător are (mai precis, poate fi ales în așa fel încât să aibă) coordonate strict pozitive, toți ceilalți vectori proprii nu au această proprietate;
- valoarea proprie satisface inegalitățile
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
Vezi și
Literatură
- Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices , Mathematische Annalen T. 64 (2): 248–263 , DOI 10.1007/BF01449896
- Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 456–477
- Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 471–476
- Frobenius, Georg (1909), Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 514–518
- Gantmakher F. R. Teoria Matricilor, - M .: Nauka 1966, 576s.