Teorema lui Holevo

Teorema lui Holevo este o teoremă limitativă importantă în calculul cuantic , un domeniu interdisciplinar al fizicii și informaticii . Este uneori numită limita Holevo , deoarece teorema plasează o limită superioară a cantității de informații care pot fi cunoscute despre o stare cuantică (informații disponibile). Teorema a fost publicată de Aleksandr Semyonovich Holevo în 1973.

Introducere

Ca și în cazul altor concepte ale teoriei informației cuantice , este mai ușor de înțeles esența problemei folosind exemplul comunicării între două persoane. Să presupunem că îi avem pe Alice și Bob . Alice are o variabilă aleatoare clasică X , care poate lua valorile {1, 2, …, n } cu probabilitățile corespunzătoare . Alice pregătește o stare cuantică , reprezentată printr-o matrice de densitate , aleasă din mulțime și îi transmite lui Bob această stare. Scopul lui Bob este să găsească valoarea lui X , care se face prin măsurarea stării , care dă rezultatul clasic, notat cu Y . În acest context, cantitatea de informații disponibile, adică cantitatea de informații pe care Bob o poate obține prin variabila X , este valoarea maximă a informațiilor reciproce I ( X : Y ) între variabilele aleatoare X și Y pe toate măsurătorile posibile pe care Bob le poate face [1] . $\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}\}$ $\rho _{X}$ ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots \rho _{n}\))$ $\rho _{X}$

În prezent, nu se cunoaște nicio formulă pentru calcularea informațiilor disponibile. Există, totuși, mai multe limite superioare, dintre care cea mai cunoscută este limita Holevo, care este exprimată prin următoarea teoremă [1] .

Enunțul teoremei

Fie un set de stări mixte și fie una dintre aceste stări extrasă conform distribuției de probabilitate . ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots,\rho _{n}\))$ $\rho _{X}$ $P=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{n}}\}$

Acum, pentru orice măsurătoare descrisă de elementele POVM ( măsură valorică operator pozitiv , măsură operator pozitiv) și efectuată la data de , cantitatea de informații disponibile din variabila X sub forma unui rezultat de măsurare Y este limitată de mai sus, după cum urmează: $\{E_{Y}\}$ $\rho =\sum _{X}p_{X}\rho _{X}$

I(X:Y)\leqslant S(\rho)-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})

unde ; este entropia von Neumann . $\rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i)$ $S(\cdot )$

Valoarea din partea dreaptă a inegalității se numește informația Holevo sau valoarea Holevo χ :

\chi:=S(\rho)-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})

Dovada

Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare trei sisteme cuantice numite . În același timp , este considerată ca pregătire , - ca o stare cuantică pregătită de Alice și transmisă lui Bob și - ca un mijloc de măsurare a informațiilor primite de Bob. $P,Q,M$ $P$ $Q$ $M$

Un sistem complex este inițial într-o stare $P\otimes Q\otimes M$

\rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|

Starea lui Alice poate fi văzută ca și cum Alice ar avea o valoare pentru o variabilă aleatorie . Atunci starea de pregătire este o stare mixtă descrisă de matricea densității , starea cuantică transmisă lui Bob este , iar instrumentele de măsură ale lui Bob sunt în starea lor inițială sau inactivă . $P$ $X$ $X$ $\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|$ $\sum _{x}p_{x}\rho _{x}$ $|0\rangle$

Folosind rezultatele cunoscute ale teoriei informației cuantice[ ce? ] poate fi afișat[ cum? ] că

S(P';M')\leqslant S(P;Q)

De asemenea, după câteva calcule algebrice, se poate arăta[ cum? ] , care este echivalent cu afirmația teoremei [1] .

Note

În esență, limita Holevo demonstrează că pentru n qubiți , deși pot „purta” mai multe informații (clasice) datorită suprapunerii cuantice, cantitatea de informații clasice care poate fi extrasă , adică obținută în practică , nu depășește n clasic (adică, biți cuantici necodați . Acest lucru este surprinzător din două motive. :

calculul cuantic este adesea mult mai puternic decât calculul convențional, încât rezultatele care arată că sunt doar puțin mai bune sau chiar mai rele decât tehnicile convenționale sunt ciudate;
numerele complexe sunt necesare pentru a codifica un qubit, care reprezintă doar n biți. $2^{n}$

Vezi și

Codare cuantică ultradensă

Note

↑ 1 2 3 Nielsen, Chuang, 2000 .

Literatură

Holevo A.S. Limitele cantității de informații transmise pe un canal de comunicare cuantică // Probleme de transmitere a informațiilor. - 1973. - T. 9 . - S. 177-183 .
Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. secțiunea 12.1.1 - ecuația (12.6) // Calcul cuantic și informații cuantice (engleză) . - Cambridge, Marea Britanie: Cambridge University Press, 2000. - P. 531 . - ISBN 978-0-521-63235-5 .
Mark M. Wilde (2011), From Classical to Quantum Shannon Theory, arΧiv : 1106.1445v2 [quant-ph]. Vezi secțiunea 11.6. Teorema lui Holevo este prezentată ca Exercițiul 11.9.1 la pagina 288.

informatica cuantica

Concepte generale

comunicații cuantice

canal cuantic
- rețea cuantică
criptografia cuantică
- Distribuția cheii cuantice
Teleportarea energiei cuantice
teleportarea cuantică
Codare cuantică ultradensă
LOCC
distilare cuantică

Algoritmi cuantici

simulator cuantic
Algoritmul Deutsch-Yozhi
Algoritmul Bernstein-Wazirani
Algoritmul lui Grover
Transformată Fourier cuantică
algoritmul lui Shor
problema lui Simon
Algoritmul de estimare a fazei cuantice
Algoritmul de calcul cuantic
recoacere cuantică
Răcire algoritmică
Algoritm cuantic pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare
Câștig de amplitudine

Teoria complexității cuantice

Modele de calcul cuantic

circuit cuantic
- poarta cuantică
Calculator cuantic unilateral
- cluster
Calcul cuantic adiabatic
Calculator cuantic topologic

Prevenirea decoerenței

Corectarea erorilor cuantice
Codurile de stabilizare
Formalismul de stabilizare
Cod convoluțional cuantic

Implementări fizice

optica cuantică	Electrodinamica cuantică a cavitației Electrodinamica cuantică de contur Calcul cuantic bazat pe optică liniară Protocolul KLM Prelevarea bosonică
atomi superreci	Calculator cuantic cu ioni absorbiți Gratar optic
pe spate	Calculator cuantic bazat pe rezonanța magnetică nucleară Calculatorul cuantic al lui Kane Pierdere computer cuantic - DiVincenzo Centrul NV
Calculatoare cuantice supraconductoare	încărcați qubit streaming qubit qubit de fază Transmon