Matricea de densitate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 mai 2020; verificările necesită 4 modificări .

Matricea densității (operator de densitate, operator de matrice de densitate, operator statistic) este una dintre modalitățile de a descrie starea unui sistem mecanic cuantic . Spre deosebire de funcția de undă , care este potrivită doar pentru descrierea stărilor pure , operatorul de densitate poate defini în mod egal atât stările pure, cât și cele mixte . Formalismul bazat pe conceptul de operator de densitate a fost propus independent de L. D. Landau [1] și J. von Neumann [2] în 1927 [3] și F. Bloch [4] în 1946 .

Definiție

Operatorul de densitate este un operator auto- adjunct non- negativ cu unitatea de urmărire care acționează pe un spațiu Hilbert separabil . Egalitatea urmei la unitate corespunde normalizării unitare a probabilității totale pe spațiul de stare dat.

Notația standard pentru operatorul de densitate este litera . Operatorul de densitate corespunzător stării pure este proiectorul ortogonal $\rho$ $|\psi \rangle ,$

\rho ^{2}=\rho ,

ceea ce îi permite să fie reprezentat ca

\rho =|\psi \rangle \langle \psi |

Starea mixtă, corespunzătoare cazului în care sistemul se află în fiecare dintre stările reciproc ortogonale cu probabilitate , este descrisă de un operator de densitate de forma $|\psi _{j}\rangle$ $pijamale}$

\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,

Unde

\sum _{j}p_{j}=1.

Valoarea medie a observabilului pentru starea dată de matricea densității este urma produsului operatorilor și : $A$ $\rho$ $A$ $\rho$

\langle A\rangle =\operatorname {Tr} (A\rho )

Nu este greu de văzut[ expresie simplificată ] că regula obișnuită pentru găsirea mediei unui observabil pentru stările pure este un caz special al acestei formule.

Proprietăți

Derivata în timp a operatorului de densitate al sistemului cuantic hamiltonian este exprimată în termeni de comutator cu hamiltonianul ca ecuație ${\frac {\partial \rho {\partial t)}={\frac {1}{i\hbar }}[{\mathcal {H}),\rho ]$

Această ecuație este adesea numită ecuația cuantică Liouville și ecuația von Neumann .

Urma matricei de densitate este egală cu unu datorită normalizării probabilității totale: $\operatorname {Tr} (\rho )=1$
Urma pătratului matricei de densitate este egală cu unu pentru stările pure și este întotdeauna mai mică decât unu pentru stările mixte: $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})\leq 1$ și $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})=1\iff \exists |\psi \rangle :\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$

Aplicație

Utilizarea operatorului de densitate devine necesară dacă starea unui sistem mecanic cuantic, dintr-un motiv sau altul, nu poate fi considerată pură. Această situație are loc, în special, în statistica cuantică . În acest caz, operatorul densității se dovedește a fi un analog natural al funcției de distribuție a densității în spațiul de fază care apare în mecanica statistică clasică . În plus, există o interpretare a procedurii de măsurare a mecanicii cuantice ca o tranziție de la starea pură inițială la o stare mixtă. $|\psi \rangle$

\rho =\sum _{j}|e_{j}\rangle |\langle e_{j}|\psi \rangle |^{2}\langle e_{j}|

unde sunt vectorii de bază corespunzători setului complet ales de mărimi măsurate. $|e_{j}\rangle$

Acesta din urmă este un caz special de descriere a sistemelor cuantice deschise , care includ, printre altele, sisteme supuse observării externe. În general, formalismul descrierii sistemelor deschise care interacționează cu mediul folosind matricea densității este util în studierea fenomenului de decoerență , atunci când starea sistemului nu poate fi considerată pură, iar fenomenul în sine duce la decăderea elemente de matrice off-diagonale ale operatorului de densitate (pe baza valorilor proprii ale operatorului de interacțiune) și, în consecință, la tranziția sistemului la o stare mixtă .

Stări pure și mixte

În mecanica cuantică , starea unui sistem cuantic poate fi descrisă printr-un vector de stare . În acest caz, se vorbește despre o stare pură . Cu toate acestea, este posibil și pentru un sistem dintr-un ansamblu statistic de diferiți vectori de stare: de exemplu, poate exista o șansă de 50% ca vectorul de stare să fie , și o șansă de 50% ca vectorul de stare să fie . Acest sistem va fi într-o stare mixtă. Matricele de densitate sunt utile în special pentru stările mixte, deoarece orice stare, pură sau mixtă, poate fi caracterizată printr-o matrice de densitate. $|\psi \rangle$ $|\psi _{1}\rangle$ $|\psi _{2}\rangle$

O stare mixtă este diferită de o suprapunere cuantică. De fapt, o suprapunere cuantică a unei stări pure este o altă stare pură, de exemplu, . Pe de altă parte, un exemplu de stare mixtă ar fi , unde este un număr real care variază aleatoriu între diferiți fotoni. $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $A$ $A=(|\psi _{1}\rangle +e^{i\theta }|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $\theta$

Vezi și

Teoria funcțională a densității

Note

↑ Landau L. D. , Ztshr. Fiz. bd. 45. S. 430 (1927) // Landau L. D. „Problema amortizarii în mecanica ondulatorie” în cartea „Landau L. D. Culegere de lucrări”. Volumul 1. M.: Nauka, 1969. p. 18-31.
↑ J. von Neumann , Göttingen Nachr., 247 (1927). Vezi şi J. von Neumann . Fundamentele matematice ale mecanicii cuantice, - M. : Nauka 1964.
↑ Landau a introdus conceptul de matrice de densitate în mecanica cuantică cu câteva luni mai devreme decât von Neumann, dar formalismul a fost dezvoltat mai sistematic de von Neumann.
↑ F. Bloch , Nuclear induction. Fiz. Rev. 70, 460 (1946).

Literatură

Belousov Yu. M., Man'ko V. I. Matricea de densitate. Reprezentări și aplicații în mecanica statistică. - M. : MIPT, 2004. - 163 p.
Bloom K. Teoria matricei de densitate și aplicațiile acesteia. — M .: Mir, 1983. — 248 p.
Bondarev BV Metoda matricei de densitate în teoria cuantică a fenomenelor cooperative. - M. : Sputnik +, 2001. - 250 p.
Boum A. Mecanica cuantică: fundamente și aplicații. — M .: Mir, 1990. — 720 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). — Ediția a IV-a. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul III). - ISBN 5-02-014421-5 . - § paisprezece.
Mestechkin MM Metoda matricei de densitate în teoria moleculelor. - K . : Naukova Dumka, 1977. - 352 p.
von Neumann J. Fundamentele matematice ale mecanicii cuantice. - M. : Nauka, 1964. - 368 p.