Teorema lui Spielrain

Teorema lui Spielrain este una dintre teoremele centrale din teoria mulțimilor ordonate , formulată și demonstrată pentru prima dată de matematicianul polonez Edward Spielrain în 1930.

Formulare

Orice relație de ordine parțială dată pe o mulțime poate fi extinsă la o relație de ordine liniară . $\leqslant$ $X$

Dovada

Demonstrarea teoremei se bazează pe aplicarea axiomei de alegere ( lema Kuratowski-Zorn ).

Generalizări și amplificări

Teorema Dushnik-Miller

Ben Dusnik și B. W. Miller au demonstrat că fiecare relație de ordine parțială este intersecția relațiilor de ordine liniară care o conțin.

Cazul grupurilor

Generalizările teoremei lui Spielrain în cazul în care relațiile de ordine parțială și relațiile de ordine liniară care le extind sunt în concordanță cu operațiile algebrice ale grupurilor , inelelor și altor sisteme algebrice pe care sunt date aceste relații, au fost luate în considerare de matematicianul maghiar Laszlo Fuchs . . În special, teorema lui Fuchs afirmă că un ordin de grup parțial poate fi extins la un ordin de grup liniar dacă și numai dacă îndeplinește următoarea condiție: $\leqslant$ $G$ $G$

pentru fiecare set finit de elemente din ( ) se pot alege semne ( sau ) astfel încât $a_{1},\;\ldots,\;a_{n)$ $G$ $a_{i}\neq e$ $\varepsilon _{1},\;\ldots,\;\varepsilon _{n)$ $\varepsilon _{i}=1$ $\varepsilon _{i}=-1$

P\cap S(a_{1}^{\varepsilon _{1)),\;\ldots,\;a_{n}^{\varepsilon _{n)))=\varnothing .

Aici

S(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})

este un subsemigrup invariant generat de elemente ,

a_{1},\;\ldots,\;a_{n)

P=\{x\in G\mid 0\leqslant x\)

este un con de raport pozitiv .

\leqslant

Ordinea parțială a unui grup abelian poate fi extinsă la o ordine liniară dacă și numai dacă este lipsită de torsiune, adică toate elementele sale, cu excepția ordinii infinite neutre .

Teorema Dushnik-Miller în acest caz este generalizată după cum urmează: o ordine parțială a unui grup este o intersecție de ordine liniare dacă și numai dacă rezultă că pentru fiecare mulțime finită de elemente din ( ) există astfel de semne adecvate ( sau ) încât $\leqslant$ $G$ $a\notin P$ $a_{1},\;\ldots,\;a_{n)$ $G$ $a_{i}\neq e$ $\varepsilon _{1},\;\ldots,\;\varepsilon _{n)$ $\varepsilon _{i}=1$ $\varepsilon _{i}=-1$

P\cap S(a,\;a_{1}^{\varepsilon _{1)),\;\ldots,\;a_{n}^{\varepsilon _{n)))=\varnothing .

O ordine parțială a unui grup abelian este o intersecție de ordine liniare dacă și numai dacă este izolat, adică din pentru un număr natural urmează . $\leqslant$ $a^{n}\geqslant e$ $n$ $a\geqslant e$

Cazul spațiilor vectoriale

Orice relație de ordine parțială dată pe un spațiu vectorial și compatibilă cu structura acestuia poate fi extinsă la o relație de ordine liniară consistentă.

Link -uri

Spielrain, E. (1930), Sur l'extension de l'ordre partiel , Fundamenta Mathematicae T. 16: 386–389, ISSN 0016-2736 , < http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php? wyd=1&tom=16 > Arhivat 6 februarie 2012 la Wayback Machine .
Dushnik, Ben & Miller, E.W. (1941), Seturi parțial ordonate , American Journal of Mathematics vol. 63(3): 600-610, MR : 0004862 , ISSN 0002-9327 , doi : 10.2307/2371374 , < https:// www.jstor.org/stable/2371374 > .
Fuchs L. Sisteme algebrice parțial ordonate. - M . : Mir, 1965. - 342 p.

Vezi și

set parțial comandat