Sistem algebric

Un sistem algebric în algebra universală este o mulțime nevidă ( purtător ) cu un set de operații și relații ( semnătură ) dat pe el. Un sistem algebric cu o mulțime de relații goală se numește algebră , iar un sistem cu un set gol de operații se numește model . $G$

$n$ Operația -ary on este o mapare a produsului direct al instanțelor unui set la mulțimea în sine . Prin definiție, o operație nulă este pur și simplu un element distinct al unei mulțimi. Cel mai adesea, sunt luate în considerare operațiile unare și binare , deoarece sunt mai ușor de lucrat cu ele, dar din cauza nevoilor de topologie , algebră , combinatorie , tehnica de lucru cu operații de mai mare aritate se acumulează treptat , aici, ca exemplu, avem poate cita teoria operadelor (clone ale operațiilor multiliniare) și algebrelor peste ele ( algebrelor multioperatoare ). $G$ $n$ $G^{n}\la G$

Conceptul a apărut din observațiile generalității construcțiilor caracteristice diferitelor structuri algebrice generale , cum ar fi grupuri , inele , zăbrele ; în special, acestea sunt construcțiile unui subsistem (generalizarea conceptelor de subgrup , subring , respectiv subrețea ), homomorfism , izomorfism , sistem factorial (generalizand, respectiv, construcția unui grup de fapte , inel factorial , rețea factorială ). Această generalitate este studiată într-o secțiune independentă a algebrei generale - algebra universală , în timp ce se obțin o serie de rezultate semnificative care sunt caracteristice oricăror sisteme algebrice, de exemplu, cum ar fi teorema homomorfismului , care în cazul unui sistem algebric fără date date. relațiile - algebra - este rafinată la teoreme de izomorfism cunoscute anterior din teoria grupurilor și teoria inelelor .

În matematică, noțiunea de „ structură algebrică ” este, de asemenea, folosită cu diferite grade de rigoare . În special, Bourbaki o formalizează ca o mulţime înzestrată cu operaţii; în acest caz, o mulțime înzestrată cu relații (a căror prezență este posibilă pentru un sistem algebric) este deja considerată ca o structură matematică de alt fel - o structură de ordine . Cu toate acestea, nu toate structurile algebrice sunt descrise de sisteme algebrice fără construcții suplimentare; ca exemplu, pot fi menționate coalgebre , bialgebre , algebre Hopf și comodule peste ele; în plus, chiar și pentru a defini astfel de structuri clasice ca un modul peste un inel sau o algebră peste un câmp , algebra universală folosește astfel de construcții artificiale ca definiția pentru fiecare element al unui inel (câmp) a unei operații unare de înmulțire cu acest element.

Clasele principale de sisteme algebrice

Mulțimea poate fi considerată ca un sistem algebric degenerat cu un set gol de operații și relații [1] .

Groupoizi, semigrupuri, grupuri

Un grupoid este o mulțime cu o singură operație binară , numită de obicei înmulțire . $\cdot :G\time G\la G$
Cvasigrupul drept este un grupoid în care este posibilă diviziunea dreaptă, adică ecuația are o soluție unică pentru oricare și . $x\cdot a=b$ $A$ $b$
Un cvasigrup este atât un cvasigrup drept cât și unul stâng.
O buclă este un cvasigrup cu un element neutru astfel încât . $e\în G$ $a\cdot e=e\cdot a=a$
Un semigrup este un grupoid în care înmulțirea este asociativă : . $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Un monoid este un semigrup cu un element neutru.
Un grup este un monoid în care, pentru fiecare element a al grupului, se poate defini un element invers a −1 astfel încât . $a\cdot a^{{-1}}=a^{{-1}}\cdot a=e$
Un grup abelian este un grup în care operația este comutativă , adică . Operația pe un grup abelian este adesea numită adăugare ('+'). $a\cdot b=b\cdot a$

Inele

Un inel este o structură cu două operații binare (un grup abelian prin adunare cu o a doua operație binară asociativă dată, înmulțire), în care legea distributivității este îndeplinită : . $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
Un inel comutativ este un inel cu înmulțire comutativă.
Un inel integral este un inel în care produsul a două elemente diferite de zero nu este egal cu zero.

Un corp este un inel în care elementele diferite de zero formează un grup de multiplicare.
Un câmp este un inel comutativ care este un corp.

Un semiring este similar cu un inel, dar fără reversibilitatea adunării.
Un inel apropiat este, de asemenea, o generalizare a unui inel, care diferă de un inel obișnuit prin absența cerinței ca adunarea să fie comutativă și absența cerinței ca înmulțirea să fie distributivă peste adunare (stânga sau dreapta)

Algebre

Algebra este un spațiu liniar cu o operație de multiplicare distributivă biliniară , cu alte cuvinte, un inel cu o structură spațială liniară consistentă
Algebră asociativă - algebră cu înmulțire asociativă
Algebra termenilor
Algebră comutativă
Algebră gradată
O algebră Lie este o algebră cu multiplicare anticomutativă (de obicei notată ) care satisface identitatea Jacobi $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
Algebra Leibniz este o algebră cu înmulțire (de obicei notată ) care satisface identitatea Jacobi $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
Algebra Iordan este o algebră comutativă cu identitate de asociativitate slabă : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$
O algebră iordaniană necomutativă este o algebră necomutativă cu identitatea de asociativitate slabă: și identitatea de elasticitate : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$ $x(yx)=(xy)x$
Algebră alternativă - Algebră cu identități $x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x$
Algebra Maltsev este o algebră anticomutativă cu identitatea : $(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x$
Algebră comutativ-asociativă
O algebră peste o operadă este unul dintre cele mai generale tipuri de sisteme algebrice. Aici opera în sine joacă rolul semnăturii algebrei.

Grile

O rețea este o structură cu două operații comutative, asociative, idempotente care îndeplinesc legea de absorbție .
Algebră booleană .

Note

↑ Kurosh A. G. Algebră generală. — M.: Nauka, 1974. P.15

Literatură

Artamonov V. A. . Capitolul VI. Algebre universale // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Bibliotecă matematică de referință). — 25.000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Algebră universală. - M .: Mir , 1969. - 351 p.
Maltsev AI Sisteme algebrice. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17.500 de exemplare.