Teorema de reciprocitate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 noiembrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Teorema de reciprocitate este numele unui set de teoreme înrudite care descriu schimbarea reciprocă a densităților de curent electric armonic în timp (surse) și a câmpurilor electromagnetice emergente în ecuațiile lui Maxwell pentru un mediu liniar izotrop și non- girotrop .

Probabil cea mai faimoasă și generală dintre astfel de teoreme este lema Lorentz (și cazurile sale speciale, cum ar fi teorema Rayleigh-Carson ), demonstrată de Hendrik Lorentz în 1896, după rezultate similare ale lui Rayleigh și Helmholtz , aplicate undelor sonore și luminii, respectiv. Mai simplu spus, lema stabilește că relația dintre curentul alternativ și câmpul electric generat de acesta rămâne neschimbată la schimbarea locurilor punctului în care curge curentul și a punctului în care se observă câmpul.

Lema lui Lorenz

Fie ca un curent cu o densitate să genereze un câmp electric și un câmp magnetic , în timp ce toate cele trei mărimi sunt funcții armonice ale timpului cu o frecvență unghiulară , adică dependența lor de timp este descrisă de o funcție . Fie un alt curent armonic având aceeași frecvență unghiulară să genereze câmpuri electrice și magnetice și . Conform lemei Lorentz, dacă mediul îndeplinește anumite condiții naturale, atunci pentru orice suprafață care limitează volumul, este adevărat: $\mathbf {J} _{1)$ $\mathbf {E} _{1)$ $\mathbf {H} _{1}$ $\omega$ $\exp(-i\omega t)$ $\mathbf {J} _{2)$ $\omega$ $\mathbf {E} _{2)$ $\mathbf {H} _{2)$ $S$ $V$

\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _ {2}\right]dV=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \ mathbf {H} _{1}\dreapta]\cdot \mathbf {dS} .

Această afirmație poate fi formulată și sub formă diferențială (conform teoremei Gauss-Ostrogradsky ) [1] :

\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \ stânga[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right].

Forma generalizată dată de enunțuri este de obicei simplificată pentru o serie de cazuri speciale. În special, se presupune de obicei că și sunt localizate (adică fiecare dintre aceste funcții are suport compact ) și că amplitudinea undelor la infinit este zero. În acest caz, integrala ariei devine egală cu zero și lema devine: $\mathbf {J} _{1)$ $\mathbf {J} _{2)$

\int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,dV=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2 }\,dV.

Acest rezultat este uneori numit teorema Rayleigh-Carson . Adesea formula este simplificată și mai mult dacă luăm în considerare sursele de dipol punctiform. În acest caz, integrala dispare și rezultatul este pur și simplu produsul câmpului electric și momentul dipolar corespunzător al curenților. Pentru firele subțiri neglijabile, la rândul lor, obțineți produsul curentului dintr-un fir înmulțit cu tensiunea din celălalt și invers.

Într-un alt caz particular, când volumul conține în întregime ambele surse localizate (sau dacă nu conține niciuna dintre surse), lema devine: $V$ $V$

\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {dS} =\oint _{S}(\mathbf {E } _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {dS} .

Vezi și

Literatură

Landau L. D., Lifshitz E. M. Electrodinamica mediilor continue. - M .: Gostekhizdat, 1957. - 532 p. - (Fizica teoretica).
Ronold W. P. King . Teoria electromagnetică fundamentală (Dover: New York, 1963). §IV.21.
C. Altman şi K. Such . Reciprocitate, cartografiere spațială și inversare a timpului în electromagnetică (Kluwer: Dordrecht, 1991).
H.A. Lorentz . „Teorema lui Poynting privind energia în câmpul electromagnetic și două propoziții generale privind propagarea luminii,” (link indisponibil) Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896).
RJ Potton . „Reciprocitatea în optică”, Rapoarte despre progresul în fizică 67 , 717-754 (2004). (Un articol de recenzie despre istoria acestui subiect.)
JR Carson . „O generalizare a teoremei reciproce” Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924). De asemenea, JR Carson, „Teorema energiei reciproce”, ibid . 9 (4), 325-331 (1930).
Da. N. Feld . „Despre lema pătratică în electrodinamică” Sov. Phys-Dokl. 37 , 235-236 (1992).
CT. Tai . „Teoreme complementare de reciprocitate în teoria electromagnetică” IEEE Trans. Antene prop. 40 (6), 675-681 (1992).
Wolfgang KH Panofsky și Melba Phillips. Electricitate clasică și magnetism. (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).

Note

↑ Semenov N.A. Lema lui Lorentz. Teoreme de reciprocitate // Electrodinamică tehnică . - Moscova: „Comunicare”, 1973. - S. 150. - 480 p.