Teorema generatoarelor rectilinii ai unui hiperboloid cu o singură foaie

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 septembrie 2017; verificările necesită 2 modificări .

Prin fiecare punct al unui hiperboloid cu o singură foaie trec două linii drepte diferite , situate în întregime pe această suprafață.

Dovada

Luați în considerare dreptele și , date ca drepte de intersecție a planelor : $L_{1}$ $L_{2}$

$L_{1}:\quad \alpha \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\beta \left(1-{y \over b}\right);\ ;\beta \left({x \over a}+{z \over c}\right)=\alpha \left(1+{y \over b}\right);\;\alpha ^{2}+\ beta ^{2}\neq 0$

$L_{2}:\quad \gamma \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\delta \left(1+{y \over b}\right);\ ;\delta \left({x \over a}+{z \over c}\right)=\gamma \left(1-{y \over b}\right);\;\gamma ^{2}+\ delta ^{2}\neq 0$

Liniile se află în întregime pe suprafață (pentru a vedea acest lucru, este suficient să înmulțiți ecuațiile planurilor termen cu termen). Mai mult, prin fiecare punct al suprafeței trece singura linie din familie și singura linie din familie . Aceste linii (adică perechi de numere și ) se găsesc din sisteme omogene de ecuații algebrice liniare : $L_{1}$ $L_{2}$ $M_{0}(X_{0},Y_{0},Z_{0})$ $L_{1}$ $L_{2}$ $\alpha ,\beta$ $\gamma ,\delta$

$\alpha ,\beta :\quad \alpha \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\beta \left(1-{Y_{0 } \over b}\right);\;\beta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\alpha \left(1+{Y_{0 }\peste b}\dreapta)$

$\gamma ,\delta :\quad \gamma \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\delta \left(1+{Y_{0 } \over b}\right);\;\delta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\gamma \left(1-{Y_{0 }\peste b}\dreapta)$

ale căror matrici sunt degenerate (adică sistemele au soluții netriviale) și au rang egal cu 1 (adică toate soluțiile fiecăruia dintre sisteme sunt proporționale și definesc o singură linie dreaptă). Rămâne de adăugat că liniile nu coincid (este suficient să se verifice necoliniaritatea vectorilor lor de direcție).

Vezi și

Hiperboloid