Teorema comparației lui Sturm

Teorema de comparație a lui Sturm este o teoremă clasică care oferă un criteriu pentru non- oscilația soluțiilor unor ecuații diferențiale liniare .

Numit după Jacques Charles François Sturm . [1] O versiune extinsă a teoremei prezentate mai jos a fost obținută de Mauro Picone . [2]

Formulare

Fie p i , q i i = 1, 2 , funcții continue cu valori reale pe intervalul [ a , b ] și fie

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

sunt două ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi în formă autoadjunctă cu

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

și

q_{2}(x)\geq q_{1}(x).

Fie u o soluție netrivială a lui (1) cu rădăcini succesive în z 1 și z 2 , și fie v o soluție netrivială a (2). Atunci una dintre următoarele proprietăți este valabilă:

Există x în ( z 1 , z 2 ) astfel încât v ( x ) = 0; sau
Soluțiile u și v sunt proporționale; adică există un λ în R astfel încât v ( x ) = λ u ( x ) .

Vezi și

Teorema de comparație a lui Rauch este un rezultat fundamental al geometriei riemanniene, obținut prin aplicarea teoremei de comparație a lui Sturm.

Note

↑ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pure Appl. 1 (1836), 106–186
↑ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1–141.