Teorema existenței

O teoremă de existență este o afirmație care stabilește în ce condiții există o soluție a unei probleme matematice sau a unui obiect matematic, de exemplu, o derivată, o integrală nedefinită, o integrală definită, o soluție a unei ecuații etc. La demonstrarea teoremelor de existență, sunt folosite informații din teoria mulțimilor . Teoremele de existență joacă un rol foarte important în diverse aplicații ale matematicii, de exemplu, în modelarea matematică a diferitelor fenomene și procese. Modelul matematic nu este adecvat fenomenului specific descris, existența problemei matematice corespunzătoare nu rezultă din existența unei soluții la o problemă reală. Teoremele de demonstrare a existenței sunt necesare înainte de a rezolva diverse probleme matematice, cum ar fi calcularea unei integrale sau integrarea unei ecuații diferențiale. Teoremele de existență vă permit să determinați dacă integrala calculată există și câte soluții are o ecuație diferențială . Dacă este posibil să se demonstreze teorema existenței, unicitatea soluției și corectitudinea enunțului problemei în sine, atunci aceasta înseamnă un prim pas foarte important în rezolvarea problemei.

Exemple

O condiție necesară și suficientă pentru ca funcția să fie integrabilă: pentru ca suma integrală să convergă către limita la , este necesar ca suma tuturor intervalelor în care fluctuația este mai mare decât , pentru oricare cu o alegere adecvată , să poată să fie făcut arbitrar mic. $s$ $\Delta x_{{max}}\rightarrow 0$ $\sigma$ $\sigma$ $d$
Teorema secvenței crescătoare mărginite a lui Weierstrass .
O teoremă de existență pentru numerele transcendentale , care este demonstrată din considerentele cardinalității unei mulțimi .
Teorema punctului fix al lui Brouwer .
O teoremă de existență pentru o soluție la problema Cauchy (în special, Teorema lui Peano ).
Teorema chineză a restului .
Teoreme despre aproximațiile diofantine ale numerelor iraționale (de exemplu , Teorema lui Dirichlet despre aproximațiile diofantine ).
Teorema lui Dirichlet asupra numerelor prime în progresie aritmetică .
Teorema lui Picard (ecuații integrale) .

Teoremele de constructivitate ale existenței

Pentru teoremele de existență, se ia în considerare adesea problema construcției lor sau eficiența construcției obiectului a cărui existență este dovedită. O teoremă în care un obiect este construit în mod explicit este considerată mai semnificativă decât o așa-numită teoremă care afirmă existența unui obiect, dar nu spune deloc cum să-l construiască. Teoremele de primul tip se numesc teoreme de existență constructivă, teoremele de al doilea tip se numesc teoreme de existență pură. Teoremele de existență constructivă sunt de obicei mai dificil de demonstrat decât teoremele de existență pură corespunzătoare sau pur și simplu pot să nu existe la un anumit stadiu al dezvoltării matematicii.

În intuiționism , teoremele de existență sunt formulate într-o formulare mai slabă.

Literatură

L. S. Freiman Teoreme de existență, M., Nauka, 1971, 133 p., voi. 22000 de exemplare
L. D. Kudryavtsev Gânduri despre matematica modernă și studiul ei, M., Nauka, 1977, 108 p., galerie de tir. 100.000 de exemplare
Alexandrov P. S. , Kolmogorov A. N. Introducere în teoria funcțiilor unei variabile reale.
Petrovsky IG Prelegeri despre teoria ecuațiilor diferențiale ordinare.
Petrovsky IG Prelegeri despre ecuații cu diferențe parțiale.
Courant R. , Hilbert D. Metode ale fizicii matematice
Smirnov V.I. Curs de matematică superioară.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral.